Question

(UF-PE) Dada a reta r: 3x – 4y + 2 = 0 e considerando o ponto P(1, 5), pergunta-se: Qual o ponto da reta r que está mais próximo de P?
a) (5, 1)
b) (5, 17/4)
c) (17/4, 5)
d) (14/5, 13/5)
e) (13/5, 14/5)

Answer 1

Boa noite

O ponto tem que pertencer à reta .

A(5,1) → 3*5-4*1+2= 13 ≠0⇒ A∉r

B(5,17/4) →3*5-4*(17/4)+2=15-17+2=0⇒B∈r

C(17/4 , 5 ) → 3*(17/4)-4*5+2= 51/4 -20+2 =12,75-20+2=-5,25≠0⇒C∉r

D(14/5 , 13/5)→ 3*(14/5)-4*(13/5)+2=(42/5)-(52/5)+2=(-10/5)+2=-2+2 =0⇒D∈r

E(13/5 , 14/5) → 3*(13/5)-4*(14/5)+2=(39/5)-(56/5)+2=(-17/5)+2=-3,4+2=-1,4≠0⇒E∉r

Conclusão : tem que ser o ponto B ou o ponto D

Calculando as distâncias :

$d_{PB}=\sqrt{(5-1)^{2}+(5-\frac{17}{4})^{2}} =\sqrt{4^{2}+(\frac{3}{4})^{2}} =\\ \\ \\ \sqrt{16+\frac{9}{16}} =\sqrt{16+0,56} =4,07$

$d_{PD}=\sqrt{(\frac{14}{5}-1)^{2}+(5-\frac{13}{5})^{2}} =\sqrt{(\frac{9}{5})^{2}+(\frac{12}{5})^{2}} =\\ \\ \\ \sqrt{\frac{81}{25}+\frac{144}{25}} =\sqrt{\frac{225}{25}} =\sqrt{9} = 3$

Resposta : O ponto da reta mais próximo de P(1,5) é o D (14/5 , 13/5)