(UF-PB) Sejam k um numero real positivo e F1(3,0) e F2(-3,0) os focos da elipse de equação 16x² + ky² = 16k. Sabendo que P é um ponto dessa elipse, cujas distância ao foco F1 mede 4 unidades de comprimento, calcule a distância de P ao foco F2.
Soluções para a tarefa
Resposta:
6
Explicação passo-a-passo:
Como os focos estão sobre o eixo das abscissas , logo a elipse está centrada na origem C( 0 , 0 ) , temos que, a elipse tem o eixo maior paralelo ao eixo das abscissas e sua equação é do tipo:
x².. . y²
▬ + ▬ = 1
a². . .b²
Então;
16x² + ky² = 16k
16x².... .ky²... .16k
▬▬ + ▬▬ = ▬▬
16k... ..16k.. ..16k
..x².... .. y²
▬▬ + ▬▬ = 1
16k... ..16k
▬▬. ..▬▬
.16... ....k
x².... . y²
▬ + ▬▬ = 1
k... ...16
Como os focos são do tipo F( ± c , 0 ) , logo c = 3, daí, comparando as duas equações, vem;
a² = k e b² = 16
Por Pitágoras;
a² = b² + c² = 16 + 3² = 16 + 9 = 25
a = √25
a = 5
Por fim;
PF₁ + PF₂ = 2a
4 + PF₂ = 2.5
PF₂ = 10 - 4 = 6
Portanto, a distância de P ao foco F₂ é:
R=6.
espero ter ajudado
A distância de P ao foco F2 é igual a 6 unidades.
Elipses
A equação reduzida da elipse com focos no eixo x é da forma x²/a² + y²/b² = 1. Algumas relações da elipse são:
- a² = b² + c²
- Medida do eixo maior = 2a
- Medida do eixo menor = 2b
- Distância entre os focos = 2c
Conhecendo os focos, temos que a distância focal é:
2c = 3 - (-3)
2c = 6
c = 3
Podemos reescrever a equação da elipse na forma reduzida ao dividi-la por 16k:
16x²/16k + ky²/16k = 16k/16k
x²/k + y²/16 = 1
Ou seja:
a² = k
b² = 16 → b = 4
Pela relação entre os coeficientes:
a² = b² + c²
a² = 4² + 3²
a² = 25
a = 5
A soma das distâncias entre um ponto da elipse com os focos é sempre igual a 2a, logo:
PF1 + PF2 = 2a
4 + PF2 = 2·5
PF2 = 6
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