Question

(UF-GO) O valor da soma 2/3 + 2/9 + 2/27 +...+

(UF.GO) O valor da soma $\frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \frac{2}{27} +...+ \frac{2}{3^{n}}$ é:

Gabarito: $1-3^{-n}$

Preciso de ajuda, não sei como se resolve esta PG, não sei calcular esse expoente n!

Obrigada a todos!

Answer 1

Olá, Kelly.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \frac{2}{27} +...+ \frac{2}{3^{n}}=\\\\ =2(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} +...+ \frac{1}{3^{n}})=\\\\ =2\underbrace{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} +...+ \frac{1}{3^{n}}\right)}\\\\ \text{Temos aqui a soma de uma PG de 1.\º termo }a_1=\frac13\text{ e raz\~ao }q=\frac13:\\\\ =2\cdot\frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\\\\=2\cdot\frac{\frac13\cdot[(\frac13)^n-1]}{\frac13-1}=\\\\ =2\cdot\frac{\frac13\cdot[(\frac13)^n-1]}{-\frac23}=$

$=\not2\cdot(-\frac{\not3}{\not2})\cdot\frac1{\not3}\cdot[(\frac13)^n-1]=\\\\ =(-1)\cdot(3^{-n}-1)=\\\\ =\boxed{1-3^n}\text{ (c.q.d.)}$