Question

(Uf-Ba) Considerando no plano cartesiano os pontos A (x, 0), B (1, 0) e C(4, 0) determine todos os valores de X para os quais a soma da distância de A a B e da distância de A a C seja menor ou igual a 7

Answer 1

Todos os valores de X para os quais a soma da distância de A a B e da distância de A a C seja menor ou igual a 7 estão presentes no intervalo: [-1, 6].

Explicação:

Calcularemos a expressão que mede a distância entre os pares de pontos.

distância de A a B

d(A, B) = $\sqrt{(x_{A}-x_{B})^2 + (y_{A}-y_{B})^2}$

d(A, B) = $\sqrt{(x-1)^2 + (0-0)^2}$

d(A, B) = $\sqrt{(x - 1)^2 + 0}$

d(A, B) = $\sqrt{(x-1)^2}$

d(A, B) = |(x - 1)|

distância de A a C

d(A, C) = $\sqrt{(x_{A}-x_{C})^2 + (y_{A}-y_{C})^2}$

d(A, C) = $\sqrt{(x-4)^2 + (0-0)^2}$

d(A, C) = $\sqrt{(x-4)^2}$

d(A, C) = |(x - 4)|

A soma dessas distâncias deve ser menor ou igual a 7. Logo:

d(A, B) + d(A, C) ≤ 7

|(x - 1)| + |(x - 4)| ≤ 7

Por definição de módulo temos:

|(x - 1)| = {x - 1, se x ≥ 1

             {-x + 1, se x < 1

E

|(x - 4)| = {x - 4, se x ≥ 4

             {-x + 4, se x < 4

Então, temos as seguintes possibilidades de soma:

I. x - 1 + x - 4 ≤ 7

II. x - 1 + (-x + 4) ≤ 7

III. - x + 1 + (-x + 4) ≤ 7

Resolvendo:

I. 2x - 5 ≤ 7 ⇒ 2x ≤ 12 ⇒ x ≤ 6 Assim, todo x ∈ [4, 6] satisfaz a condição.

II. 0 ≤ 4 Assim, todo x ∈ [1, 4[ satisfaz a condição.

III. - 2x ≤ 2 ⇒ x ≥ - 1 Assim, todo x ∈ [-1, 1[ satisfaz a condição

Portanto, temos:

x ∈ [−1, 1[ ∪ [1, 4[ ∪ [4, 6] = [−1, 6]