Question

(UF-AM) Se A = $(a_{ij})_{3x3}$ é uma matriz real definida por
$a_{ij}$ =
i + j, se i > j
2j - i, se i = j
i - j, se i < j
então o determinante da matriz inversa da matriz A é:
a) 10
b) $\frac{1}{10}$
c) -$\frac{1}{10}$
d) -$\frac{1}{5}$
e) $\frac{1}{5}$

Com a justificativa por favor

Answer 1

Primeiro vamos montar a matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]$

$a_{11} = i = j = 2(1) - 1 = 1\\a_{12} = i < j = 1 - 2 = - 1\\a_{13} = i < j = 1 - 3 = - 2\\a_{21} = i > j = 2+ 1 = 3\\a_{22} = i = j = 2(2) - 2 = 2\\a_{23} = i < j = 2 - 3 = - 1\\a_{31} = i > j = 3+ 1 = 4\\a_{32} = i > j = 3+ 2 = 5\\a_{33} = i = j = 2(3) - 3 = 3$

Determinando a matriz

$\left[\begin{array}{ccc}1&- 1&- 2\\3&- 2&- 1\\4&5&3\end{array}\right]$

A inversa da Matriz calculando o determinante

$\left[\begin{array}{ccccc}1&- 1& -2&1&-1\\3& 2&- 1&3&- 2\\4&5&3&4&5\end{array}\right] = [(1*2*3)+(-1*-1*4)+(-2*3*5)] - [(-2*2*4)+(1*-1*5)+(-1*3*3)] = [6+4-30]-[-16-5-9] = -20-[-30] = 10$

Inversa e dada por $\frac{1}{det A}$

Fazendo a inversa = $\frac{1}{10} * \left[\begin{array}{ccc}1&- 1&- 2\\3& 2&- 1\\4&5&3\end{array}\right]$

Realizando as propriedades de inversa temos:

$\left[\begin{array}{ccc}\frac{11}{10}&\frac{-7}{10}&\frac{1}{2} \\\frac{-13}{10}&\frac{11}{10}&\frac{-1}{2}\\\frac{7}{10}&\frac{-9}{10}&\frac{1}{2}\end{array}\right]$

Calculando o determinante obtive:

$\frac{1}{10}$

Logo o determinante será o mesmo da inversa e a normal, pois ao gerar uma inversa e também conhecida como identidade, temos uma matriz identica a anterior que possuirá o mesmo determinante, correta letra B