Question

(UESPI) Se i é a unidade imaginária, isto é, i = √1, o valor da soma i + i² + i³ + … + i²°¹³ é:

Answer 1

O valor da soma (i + i² + i³ + … + i²⁰¹³) é igual ao número complexo (201i +200), nesse exercício sobre o número imaginário i.

Número imaginário

Na matemática, o número imaginário é um número chamado de complexo, com a parte real igual a zero. Podemos dizer que i² = -1.

A partir disso, podemos fazer o estudo das 10 primeiras potências de i, que serão:

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = i² . i = (-1) . i = -i
• i⁴ = i² . i² = (-1) . (-1) = 1
• i⁵ = i⁴ . i = 1 . i = i
• i⁶ = i⁵ . i = i . i = i² = -1
• i⁷ = i⁶ . i = (-1) . i = -i
• i⁸ = i⁴ . i⁴ = 1 . 1 = 1
• i⁹ = i⁸ . i = 1 . i = i
• i¹⁰ = (i²)⁵ = (-1)⁵ = -1

Ou seja:

(i¹ + i² + i³ + ... + i¹⁰) = i - 1 - i + 1 + i - 1 - i + 1 + i = (i - 1)

Aí teremos que esse valor de (i - 1) será repetido 201 vezes + i²⁰¹¹ + i²⁰¹² + i²⁰¹³, então temos:

• 2010/10 = 201

• 201.(i - 1)

Para fazermos o cálculo dos últimos 3 expoentes (i²⁰¹¹ + i²⁰¹² + i²⁰¹³), devemos dividir por 4 o número 2011, 2012 e 2013, e achar o resto, que é o valor que devemos elevar o i também para acharmos o resultado:

• i²⁰¹¹ = i³ = - i
• i²⁰¹² = i⁴ = 1
• i²⁰¹³ = i⁵ = i

i¹ + i² + i³ + ... + i²⁰¹¹ + i²⁰¹² + i²⁰¹³ = 201i - 201 - i + 1 + i = (201i +200)

Veja mais sobre número complexo em:

https://brainly.com.br/tarefa/51300378

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