Question

(UESPI) determine o menor natural n tal que n^400 > 10^600

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Answer 1

$n^{400} > 10^{600}$

$\sqrt[100]{n^{400}} > \sqrt[100]{10^{600}}$

Como se tratam de números naturais, não precisamos nos preocupar com módulo.

$n^4 > 10^6$

$\sqrt[4]{n^{4}} > \sqrt[4]{10^{6}}$

$n> 10\cdot\sqrt[4]{10^{2}}$

$n> 10\cdot\sqrt[2]{10}$

raiz de 10 é aproximadamente 3.1.

$n> 10\cdot 3.1$

$n> 31$

O próximo natural é 32.

Answer 2

$\text n^{400}>10^{600}$

Aplicando Log dos dois lados :

$\text{Log}\ {\text n}^{400} > \text{Log} \ 10^{600}$

Sabemos que :

$\text{Log} \ 10^{\text n} = \text n$

Então :

$\text{Log}\ {\text n}^{400} > \text{Log} \ 10^{600}$

$400. \text{Log}\ {\text n} > 600$

$\displaystyle \text{Log}\ {\text n} > \frac{600}{400}$

$\displaystyle \text{Log}\ {\text n} > \frac{3}{2}$

$\displaystyle \text n > 10^{\frac{3}{2} }$

$\text n > \sqrt{10^3}$

$\text n > 10.\sqrt{10}$

Sabendo que $\sqrt{10} \approx 3,1$

$\text n > 10.3,1$

$\text n> 31$

Portanto o menor inteiro que satisfaz a inequação  é :

$\huge\boxed{\text n = 32 }\checkmark$