Question

UESB (2012) Por volta de 1940, Leonhard Euler admitiu a validade da expansão de Taylor para números complexos, obtendo e conclui que e^iϕ = cos ϕ + i sen ϕ.
Aplicando esse desenvolvimento, pode-se representar um número complexo qualquer z, de módulo ρ e argumento ϕ, sob a forma exponencial z = ρe^ϕi.
Nessas condições, sendo z1= 10e^(5π/3)i e z2 = 6e^πi, a soma z1 + z2, escrita na forma algébrica, é igual a:
01) −1 + 5raiz3i
02) 1− raiz3i
03) 1 + 5raiz3i
04) −1 − raiz3i
05) −1 − 5raiz3i

Gente, alguém me ajuda por favor!! Obrigada!
Gabarito: 05

Answer 1

Olá Diana!

Inicialmente, encontremos z_1.

De acordo com o enunciado,

$\\ \mathsf{z_1 = 10 \cdot e^{\frac{5\pi}{3}i}} \\\\ \mathsf{\dfrac{z_1}{10} = e^{\frac{5\pi}{3}i} = \cos \left ( \dfrac{5\pi}{3} \right ) + i \cdot \sin \left ( \dfrac{5\pi}{3} \right )} \\\\\\ \mathsf{\dfrac{z_1}{10} = \cos 300^o + i \cdot \sin 300^o} \\\\\\ \mathsf{\dfrac{z_1}{10} = \cos 60^o + i \cdot (- 1) \cdot \sin 60^o} \\\\\\ \mathsf{\dfrac{z_1}{10} = \dfrac{1}{2} + i \cdot - \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{z_1 = 5 - 5i\sqrt{3}}}$


 Analogamente, encontramos z_2, veja:

$\\ \mathsf{z_2 = 6 \cdot e^{\pi i}} \\\\ \mathsf{\dfrac{z_2}{6} = e^{\pi i} = \cos \pi + i \cdot \sin \pi} \\\\\\ \mathsf{\dfrac{z_2}{6} = \cos 180^o + i \cdot \sin 180^o} \\\\\\ \mathsf{\dfrac{z_2}{6} = (- 1) + i \cdot 0} \\\\\\ \boxed{\mathsf{z_2 = - 6}}$


 Por fim,

$\\ \mathsf{z_1 + z_2 = \left ( 5 - 5i\sqrt{3} \right ) + (- 6)} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{z_1 + z_2 = - 1 + 5i\sqrt{3}}}}}$