Question

(Uesb - 2004) Sendo x= 2√3/√3 - 3√2/√3 + 6, pode-se afirmar que x é um número:

01) racional não inteiro positivo
02) racional não inteiro negativo
03) inteiro negativo
04) inteiro positivo
05) irracional

Answer 1

05)Irracional
A resposta verdadeira realmente é a (e), mas todas as resoluções acima estão erradas. Primeiramente, as que concluem que x = 2√3 estão absurdamente erradas, -3√2√3 = -3√6, e não -√6. De fato, x = 2[√3 - √2], mas não é possível simplesmente concluir que este número é irracional. Dizer que somas (ou subtrações, que nada mais são do que somas com um número negativo) de irracionais sempre são irracionais está ERRADO. Um exemplo bem óbvio de que isto não é sempre verdadeiro: √2 é irracional, -√2 também, e √2 + (-√2) = 0, que é racional.


É preciso verificar que 2[√3 - √2] é irracional, e esta é a parte difícil do problema. Para isto, assuma inicialmente que 2[√3 - √2] seja racional, isto é, assuma que existem inteiros a e b tais que a/b = 2[√3 - √2] 

2[√3 - √2] = a/b 
4[√3 - √2]² = a²/b² 
4[3 - 2√6 + 2] = a²/b² 
-8√6 + 20 = a²/b² 
8√6 = 20 - a²/b² = (20b² - a²)/b² 
√6 = (20b² - a²)/8b² 

Mas então √6 é uma fração de inteiros, sendo racional, o que é absurdo. Logo, 2[√3 - √2] tem que ser irracional (pois se ele fosse racional isto levaria a um resultado contraditório). E, agora sim, pode-se dizer que a resposta certa é a (e).