Question

(UERJ) Um sistema luminoso, constituído de oito
módulos idênticos, foi montado para emitir
mensagens em código. Cada módulo possui três
lâmpadas de cores diferentes − vermelha, amarela
e verde. Observe a figura. Considere as seguintes
informações:
• cada módulo pode acender apenas uma lâmpada
por vez;
• qualquer mensagem é configurada pelo
acendimento simultâneo de três lâmpadas
vermelhas, duas verdes e uma amarela,
permanecendo dois módulos com as três lâmpadas
apagadas;
• duas mensagens são diferentes quando pelo
menos uma das posições dessas cores acesas é
diferente.
Calcule o número de mensagens distintas que esse
sistema pode emitir.
Deixem os cálculos pfvr

Answer 1

1680. Existem duas formas de fazer:

1° Forma.

Existe $c_{8} ^{6} = (\frac{8!}{6!2!} )=(\frac{8.7.6!}{6!2!} ) =(4)(7)=28$  maneiras de 6 módulos ficarem acesos. Em cada uma haverá a permutação das cores: (VERM) (VERM) (VERM) (VERDE) (VERDE) (AMARELA), resultando um total de $\frac{6!}{3!2!} = \frac{6.5.4.3!}{3!2!} = 60.$  . Logo são (60).(28) = 1680 mensagens distintas.

2° Forma.

Como haverá 2 módulos vazios, temos uma permutação com repetição da configuração:

(VERM) (VERM) (VERM) (VERDE) (VERDE) (AMARELA) (VAZIO) (VAZIO):

$\frac{8!}{3!2!2!} =1680$ .

Espero ter ajudado!