(UERJ) para construir um poliedro convexo, um menino dispõe de folhas retangulares de papel de seda, cada uma com 56cm de comprimento por 32cm de largura, e de 9varetaa de madeiras, cada uma com 40cm de comprimento. na construção da estrutura desse poliedro todas as faces serão triangulares e cada aresta corresponderá a uma vareta. admita que o menino usará as 9 carretas e que todas as faces serão revestidas por papel de seda. Qual será esse poliedro e quantas folhas de papel de seda serão necessárias para cobrir-lo??
Soluções para a tarefa
O poliedro será um tetraedro regular.
Serão necessárias 2 folhas de papel de seda.
Como temos 9 varetas e cada aresta corresponderá a uma vareta, esse poliedro tem 9 arestas.
Juntando 9 arestas em forma de triângulo para a construção de um poliedro, formamos 4 faces triangulares (veja em anexo).
Então, o poliedro formado é um tetraedro regular.
A área de cada folha de seda é:
Af = 56 x 32
Af = 1792 cm²
Agora, precisamos calcular a área total desse poliedro.
Ele é formado por 4 triângulo equiláteros de aresta medindo 40 cm.
> Área de um triângulo equilátero
A = √3.L²
4
Como são 4 triângulos no total, temos:
A = 4 x √3.L²
4
A = √3.L²
A = √3. 40²
A = 1600√3
A ≈ 2771 cm²
Agora, basta dividirmos:
2771 ÷ 1792 = 1,54 ≈ 2
Então, serão necessárias 2 folhas de papel de seda.
Resposta:
A resposta dada acima está errada. O gabarito correto são 3 folhas.
Explicação passo-a-passo:
O exercício diz que temos 9 varetas de 40 cm, e que elas serão as arestas. Então temos A = 9.
Diz também que as faces do poliedro são triangulares.
Pela relação de Euler, temos que o número de arestas = qtde de faces X qtde de lados dessa face /2
A = F. x/2
9 = F.3/2 —-> 3F = 18 ——> F=6
O poliedro terá então seis faces triangulares. Cada uma dessas faces é um triângulo equilátero de lado 40cm (tamanho da vareta/aresta).
A área de um triângulo equilátero é dada pela fórmula A= lado^2 raiz de 3/ 4
Então temos que a área de uma face é ((40)^2. Raiz de 3)/4
A= 400. 1,7 (que é o valor de raiz de3)
A = 680
A área de uma face é 680. Como o poliedro tem 6 faces, multiplicamos 6x680=4080cm2
Essa é a área do poliedro.
Como queremos revesti-lo de papel de seda, calculamos a área de cada papel e dividimos a área total do poliedro pela área do papel.
Área de um papel= 56.32= 1792 cm2
4080/1792 = 2
PORÉM essa conta não é exata, há resto. Esse resto também precisa ser coberto. Logo, serão necessárias 3 FOLHAS.
Espero ter ajudado ;)