Question

UERJ Pag 188 Letra i)

Calcule y' se:
y = (cosec (2x) - Cotg(x))^2

Answer 1

Temos a seguinte função:

$y = ( \text{cossec(2x)} - \cotg(x)) {}^{2}$

Observe que trata-se de uma função composta, ou seja, uma dentro de outra, portanto parar derivarmos essa função será necessário usar a regra da cadeia, que diz:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\bf (f{}^{n} ) ' = n.f {}^{n - 1} .f'}$

Primeiro vamos identificar a função "f", está notavelmente representada por:

$f = \text{cossec(2x)} - \cotg(x)$

Substituindo esse dado na relação:

$((\text{cossec(2x)} - \cotg(x)) {}^{2})' = 2.(\text{cossec(2x)} - \cotg(x)) {}^{2 - 1} .(\text{cossec(2x)} - \cotg(x))' \\ \\ ((\text{cossec(2x)} - \cotg(x)) {}^{2})' = 2 \text{cossec(2x)} - 2 \cotg(x) .(\text{cossec(2x)} - \cotg(x))' \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos calcular separadamente aquela outra derivada:

$(\text{cossec(2x)} - \cotg(x))' = \text{cossec(2x)}' - \cotg(x)'$

Essas derivadas trigonométricas são conhecidas, elas possuem os seguintes "resultados". (Observação: Na função da cossencante(2x), é necessário multiplicarmos pela derivada da função que está dentro do parêntese, ou seja, multiplicarmos por 2).

$- 2\cotg(2x). \text{cossec(2x)} + \csc {}^{2} (x)$

Substituindo esse dado lá onde paramos:

$((\text{cossec(2x)} - \cotg(x)) {}^{2})' = 2.(\text{cossec(2x)} - \cotg(x)) {}^{2 - 1} .(\text{cossec(2x)} - \cotg(x))' \\ \\ ((\text{cossec(2x)} - \cotg(x)) {}^{2})' = 2 \text{cossec(2x)} - 2 \cotg(x) .(\text{cossec(2x)} - \cotg(x))' \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ ((\text{cossec(2x)} - \cotg(x)) {}^{2})' =( 2 \text{cossec(2x)} - 2 \cotg(x)).( - 2\cotg(2x). \text{cossec(2x)} + \csc {}^{2} (x))$

É bom pararmos por aqui, pois não faz-se tão necessário continuar o desenvolvimento, já que encontramos a derivada.

Espero ter ajudado