Question

(UERJ/2009) Um piso plano é revestido de hexágonos regulares congruentes cujo lado mede 10cm. Na ilustração de parte desse piso, T, M e F são vértices comuns a três hexágonos e representam os pontos nos quais se encontram, respectivamente, um torrão de açúcar, uma mosca e uma formiga. Ao perceber o açúcar, os dois insetos partem no mesmo instante, com velocidades constantes, para alcançá-lo. Admita que a mosca leve 10 segundos para atingir o ponto T. Despreze o espaçamento entre os hexágonos e as dimensões dos animais. A menor velocidade, em centímetros por segundo, necessária para que a formiga chegue ao ponto T no mesmo instante em que a mosca, é igual a: a) 3,5 b) 5,0 c) 5,5 d) 7,0

Answer 1

Como queremos a menor velocidade, então a formiga deverá percorrer o menor caminho. Esse caminho corresponde ao segmento FT.

Perceba que ao traçarmos os segmentos MT, FM e FT construímos um triângulo de lados MT = 30 cm, FM = 50 cm.

Como o ângulo interno de um hexágono é igual a 120°, então o ângulo M mede 120°.

Utilizando a lei dos Cossenos, temos que:

FT² = 30² + 50² - 2.30.50.cos(120)

FT² = 900 + 2500 + 1500

FT² = 4900

FT = 70 cm.

Sabemos que a velocidade média é igual à razão entre o espaço percorrido e o tempo.

Como a mosca leva 10 segundos para atingir o ponto T, então para que a formiga chegue no mesmo instante, deverá levar 10 segundos também.

Logo,

$vm = \frac{70}{10}$

vm = 7 cm/s.

Alternativa correta: letra d).

Answer 2

Resposta:

7cm

Explicação passo-a-passo:

Primeiro vamos separar as informações necessárias:

-Tempo:

mosca=10s

formiga= t

-Distâncias entre:

TM, MF e FT.

observação: VÉRTICES OPOSTOS DO HEXÁGONO DISTAM DUAS VEZES A ARESTA (imagem)

Teremos então: (imagem)

TM= 20+10 = 30cm

MF= 10+20+20 = 50cm

Agora que sabemos as distâncias de TM e MF, precisamos encontrar FT, utilizaremos a equação da LEI DOS COSSENOS:

FT²=TM²+MF²- 2x TM x MF. cos120º

observação: LEMBRANDO QUE OS ÂNGULOS INTERNOS DE UM HEXÁGONO VALEM 120º E QUE NESTE CASO AS RETAS TM E MF FORAM BISSETRIZES PARA OS ÂNGULOS INTERNOS (60º+60º=120º)

FT²= 30² + 50² - 2 x 30 x 50 x cos120º

FT²= 900 + 2500 - 300 x (-cos60º)

FT²= 900 + 2500 - 300 x (-0,5)

FT²= 4900

FT= $\sqrt{4900}$ = 70cm

Agora que encontramos a distância FT, finalizaremos encontrando a velocidade:

v= $\frac{s}{t} = \frac{70}{10} = 7cm$