Question

(UEPG)Indica-se por n(x) o número de elementos do conjunto X.Se A e B são conjuntos tais que n(A)=20,(B-A)= 15 e (A interseção B)=8 assinale a alternativa falsa

A) n(A-B)=12
B) n(B)=23
C) n(A união B)=35
D) n(A união B) - n(A interseção B)=27
E) n(A) - n(B) - n(A-B)​

Answer 1

A questão trata de relação entre conjuntos, explorando o número de termos de conjuntos. Dado o espaço dos conjuntos e uma métrica $n(X)$ que mede o número de elementos que um conjunto possui, podemos analisar conjuntos definidos a partir de outros, como o conjunto união ou intersecção.

A união de dois conjuntos, definida e denotado por

$A\cup B = \{x \,:\, x\in A \hspace{0.25cm} ou \hspace{0.25cm} x\in B\}$

é o conjunto de termos que pertençam à A ou à B, incluindo elementos que pertençam aos dois simultaneamente. Para obtermos o número de elementos de A união B começamos com o básico. Como são formados por A e B, o número de elementos deve ser a soma dos elementos de A e os elementos de B, isso é verdade somente se A e B não compartilham elementos, a intersecção B é nula, pois senão estaremos contando duas vezes os elementos que pertencem à A e B.

Suponha que dentre os elementos de A, um número N deles também pertence à B, então quando fazemos n(A) + n(B), estes N elementos estão sendo contados por n(A) e n(B), portanto devemos subtrair N do total

$n(A\cup B) = n(A)+n(B)-N$

Como N é o número de elementos que pertencem à A e à B, N é o número de elementos da intersecção! Obtendo a igualdade

$n(A\cup B) = n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

O mesmo raciocínio é utilizado para generalizar o problema para quantos conjuntos for. O enunciado para k conjuntos $\{A_1,\dots,A_k\}$ é conhecido como princípio de inclusão-exclusão,

$\displaystyle n\left(\,\bigcup_{i=1}^k A_i\right) = \sum_{\ell=1}^k (-1)^{i+1} \cdot \sum_{1\leq i_1 < \dots < i_\ell\leq k} n(A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_\ell})$

Parece complicado, mas consiste basicamente de uma soma alternada de intersecções, no caso de 3 conjuntos obteríamos a igualdade

$n(A\cup B \cup C) = n(A)+n(B)+n(C) - n(A\cap B) - n(A\cap C) - n(B\cap C) + n(A\cap B \cap C)$

Por fim, obteremos o número de elementos da diferença de conjuntos. Sejam A e B elementos cuja intersecção não é nula, então, A-B é o conjunto de elementos que pertençam à A e não pertençam à B. Como os elementos deste conjunto não pertencem à B, eles necessariamente não pertencem à intersecção de A com B, portanto,

$n(A-B) = n(A) - n(A\cap B)$

Com todas estas ferramentas em mãos vamos ao exercício. Sejam A e B elementos que sabemos que

$n(A) = 20\\n(B-A) = 15\\n(A\cap B) = 8$

Vamos analisar e calcular o número de elementos dos conjuntos introduzidos nas alternativas e procuramos a afirmação incorreta:

a) n(A-B) = 12

Da relação de diferença de conjuntos obtemos que

$n(A-B) = n(A) - n(A\cap B)$

Temos as informações que precisamos, portanto,

$n(A-B) = 20-8 = 12$

Portanto, a afirmação é correta.

b) n(B) = 23

Sabemos B-A e a intersecção, portanto, n(B) pode ser obtido por

$n(B-A) = n(B) - n(A\cap B)$

$15 = n(B) - 8 \iff n(B) = 23$

A afirmação é correta.

c) n(A∪B) = 35

Agora, devido à alternativa b), sabemos n(B), portanto, podemos utilizar o princípio de inclusão-exclusão,

$n(A\cup B) = n(A)+n(B) - n(A\cap B)$

$n(A\cup B) = 20+23-8 = 35$

Outra afirmação correta.

d) n(A∪B) - n(A∩B) = 27

Sabemos ambos os elementos de cada um, portanto, somente calculamos

$n(A\cup B) - n(A\cap B) = 35-8 = 27$

Afirmação correta.

e) n(A) - n(B) - n(A-B)​

A alternativa está incompleta e, como as demais são corretas, suponho que esta afirmação deve ser incorreta. Para fim de exercício calcularemos a expressão.

$n(A) - n(B) - n(A-B) = 20 - 23 - 12 = -15$

Na realidade o cálculo aqui é o negativo do número de elementos de B-A, pois, pela diferença podemos obter

$n(A) - n(A-B) = n(A\cap B)$

$n(A)- n(A-B) - n(B) = n(A\cap B) - n(B)$

mas,

$n(B-A) = n(B)-n(A\cap B) = -(n(A\cap B) - n(B))$

$\therefore n(A) - n(B) - n(A-B) = -n(B-A)$