Question

(UEPB) As retas R e S de equações cartesianas 3x-4y-8=0 e 4y-3x-12=0, respectivamente, são tangentes a um círculo C. O perímetro em C em cm é:
A )4pi
B)2pi
C)8pi
D)4
E)16pi

Answer 1

Primeiramente, observe que:

r: 3x - 4y - 8 = 0

r: 3x - 4y = 8

e

s: 4y - 3x - 12 = 0

s: -3x + 4y = 12

s: 3x - 4y = -12

Perceba que as retas r e s são paralelas, pois o coeficiente angular das duas retas são iguais.

Então, podemos afirmar que a distância entre as duas retas corresponde ao comprimento do diâmetro da circunferência.

Para calcular a distância entre duas retas, vamos escolher um ponto de uma delas. Depois, calcularemos a distância desse ponto à outra reta.

Veja que o ponto (0,-2) pertence à reta r.

Então,

$d=\frac{|-3.0 + 4.(-2)-12|}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}$

$d=\frac{|-20|}{5}$

$d=\frac{20}{5}$

d = 4.

Então, o diâmetro da circunferência mede 4.

Sabemos que o perímetro de uma circunferência corresponde ao seu comprimento, cuja fórmula é c = 2πr.

Lembre-se que: o diâmetro é igual ao dobro do raio.

Portanto, podemos concluir que o perímetro é igual a:

c = 4π.

Alternativa correta: letra a).