Question

UEPB) A solução da inequação logarítmica
log_{ \frac{1}{2} }(x) + log_{ \frac{1}{2} }(x - 2) > - 3log21​​(x)+log21​​(x−2)>−3 

Answer 1

Observe que é uma soma de logaritmos de mesma base. Assim, podemos aplicar a seguinte propriedade:

$log_{ \frac{1}{2} }(x) + log_{ \frac{1}{2} }(x - 2) > - 3$

$log_{ \frac{1}{2} }(x^2 - 2x) > - 3$

Agora, fazemos ambos os lados virarem uma potência de 1/2. Porém, há uma observação extra: se a > b, então q^a < q^b se q < 1. Nesse caso, 1/2 < 1, então o sinal da desigualdade inverte:

$x^2 - 2x < (\frac{1}{2})^{-3}$

$x^2 - 2x < 8$

$x^2 - 2x - 8 < 0$

Agora temos uma desigualdade da forma ax² + bx + c < 0, com a > 1, isso significa que, sendo p < q as raízes da função f(x) = ax² + bx + c, os valores de x que satisfazem essa desigualdade são p < x < q. Então, basta descobrirmos as raízes da função $f(x) = x^2 - 2x - 8$:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

A soma das raízes é 2 e o produto é -8; ou seja, as raízes são 4 e -2. Então podemos afirmar que $-2 < x < 4$. Entretanto, ao olhar na equação original, sabendo que o logaritmando não pode ser negativo ou nulo, isto é, $x - 2 > 0$, temos que $x > 2$. Então, a solução dessa inequação é:

S = {x ∈ R | 2 < x < 4}

Alternativa correta: B).