Question

(UEPB) A distância entre o ponto P(3, 5) e a reta r, de equação x + 2y – 8 = 0, é igual a

Answer 1

A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão que a distância entre o ponto e a reta é $\textstyle \sf \sf d_{(P, r )} = \sqrt{5}$

Dados um ponto $\textstyle \sf \sf P(x_p, y_p)$ e uma reta r de equação $\textstyle \sf \sf ax +by +c = 0$, a distância entre P e r é dada por:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ d_{(P, r )} = \dfrac{ax_p +by_p + c }{\sqrt{a^{2} + b^{2} } } } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf P(3,5) \\ \sf r: x+2y -8 = 0 \\ \sf d_{(P,r)} = \:? \end{cases} } }$

Iremos calcular a distância do ponto P à reta r.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{(P, r )} = \dfrac{ax_p +by_p + c }{\sqrt{a^{2} + b^{2} } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{(P, r )} = \dfrac{1 \times 3 + 2 \times 5 -8}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{(P, r )} = \dfrac{ 3 + 10 -8}{\sqrt{1 + 4 } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{(P, r )} = \dfrac{ 13 -8}{\sqrt{5 } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{(P, r )} = \dfrac{ 5}{\sqrt{5 } } \times \dfrac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{5} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{(P, r )} = \dfrac{ 5\;\sqrt{5} }{\sqrt{25 } } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d_{(P, r )} = \dfrac{ 5\;\sqrt{5} }{5 } } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf d_{(P, r )} = \sqrt{5} }$

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