Question

(UEPB/2011) O termo que independe de x no desenvolvimento (3x - 2/x) elevado a 4 é?

Answer 1

Olá Samuel, boa noite!!

Por Binômio de Newton, temos que cada termo é dado por:

$\displaystyle \mathsf{\binom{4}{p} \cdot (3x)^{4 - p} \cdot \left ( - \frac{2}{x} \right )^p, 0 \leq p \leq 4.}$

 Ora, o termo independente será dado quando o expoente de "x" for nulo, então desenvolvendo:

$\\ \displaystyle \mathsf{\binom{4}{p} \cdot (3x)^{4 - p} \cdot \left ( - \frac{2}{x} \right )^p} \\\\\\ \mathsf{\binom{4}{p} \cdot (3^{4 - p} \cdot x^{4 - p}) \cdot [(- 2)^p \cdot (x^{- 1})^p]} \\\\\\ \mathsf{\binom{4}{p} \cdot 3^{4 - p} \cdot x^{4 - p} \cdot (- 2)^p \cdot x^{- p}} \\\\\\ \mathsf{\binom{4}{p} \cdot 3^{4 - p} \cdot x^{4 - p - p} \cdot (- 2)^p}$

 Logo,

$\\ \mathsf{4 - p - p = 0} \\\\ \mathsf{2p = 4} \\\\ \boxed{\mathsf{p = 2}}$

 Por fim,

$\\ \displaystyle \mathsf{\binom{4}{p} \cdot 3^{4 - p} \cdot x^{4 - p - p} \cdot (- 2)^p} = \\\\\\ \mathsf{\binom{4}{2} \cdot 3^{4 - 2} \cdot x^{4 - 2 - 2} \cdot (- 2)^2} = \\\\\\ \mathsf{\frac{4!}{2!(4 - 2)!} \cdot 3^2 \cdot x^0 \cdot (- 2)^2} = \\\\\\ \mathsf{\frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2 \cdot 1 \cdot 2!} \cdot 9 \cdot 1 \cdot 4} = \\\\ \mathsf{6 \cdot 36 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{216}}}$