Question

Uem-pr considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais em um plano. Sejam P ( 2,2) e Q (1,1) pontos nesse plano, bem como uma circunferência C, como centro em P, e que passa pelo ponto Q. Com essas informações, calcule a soma dos números associados às afirmativas corretas.
01) a reta x=1 é tangente a C
02) uma equação para a circunferência C é dada por x2 + y2-4x +6=0.
04) o ponto M (2,3) está no exterior de C
08) O ponto N (3,3) pertence a C
16) o perímetro de C é 4pi

Answer 1

A equação de uma circunferência é $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$, sendo (x0, y0) o centro da circunferência e r é o raio.

Como P(2,2) é o centro, então $(x-2)^2+(y-2)^2=r^2$

Para calcular o raio, precisamos calcula a distância de P a Q:

$d(P,Q) = \sqrt{(1-2)^2+(1-2)^2} = \sqrt{1+1}= \sqrt{2}$

Portanto, $C: (x-2)^2+(y-2)^2= 2$

Vamos analisar cada afirmativa:

01) A reta x = 1 não é tangente a C, pois o ponto (1,3) pertence à reta e à C. Além disso, o ponto (1,1) também pertence à reta. Logo, ela é secante

02) Completando quadrado, temos que:

$x^2-4x+4+y^2=-6$
$(x-2)^2 + y^2 = -6$

A afirmativa está errada.

04) Esboçando a circunferência, podemos perceber que o ponto M(2,3) está no interior de C.

08) Sendo N(3,3), temos que:

$(3-2)^2 + (3-2)^2 = 1 + 1 = 2$

Portanto, o ponto pertence a C.

16) O comprimento da circunferência é dado pela fórmula C = 2πr.

Como $r = \sqrt{2}$, então o perímetro é $2 \sqrt{2} \pi$

Portanto só temos uma afirmativa correta: 08