Question

(UEL) Uma esfera de massa m desliza, com atrito desprezível, ao longo de um trilho
em laço, conforme a figura abaixo.

A esfera parte do repouso no ponto y = 4R acima do nível da parte mais baixa do trilho.
Calcule os valores da velocidade da esfera (vX) e da força normal (N) exercida sobre a
esfera, no ponto x (ponto mais alto da trajetória circular):

Answer 1

A velocidade da esfera no ponto x é $\large \sf 2 \sqrt {Rg}$.

A força normal exercida sobre a esfera no ponto x é 3mg, onde:

m: massa da esfera

g: aceleração gravitacional

• Estando a esfera em repouso no ponto inicial,  sua energia mecânica total (Eᵢ) é apenas sua energia potencial gravitacional.

Eᵢ = mgh ⟹ Substitua h por 4R.

Eᵢ = mg⋅4R

• No ponto mais alto do trilho em laço a energia mecânica total (Eₓ) da esfera é sua energia potencial gravitacional mais sua energia cinética.

$\large \sf E_x = mgh + \dfrac{mv^2}{2}$

$\large \sf E_x = mg\cdot 2R + \dfrac{mv_x^2}{2}$  ⟹ Fatore por fator comum em evidência.

$\large \sf E_x = m \left( g\cdot 2R + \dfrac{v_x^2}{2} \right)$

• Pelo princípio de conservação da energia mecânica, Eᵢ = Eₓ.

Eᵢ = Eₓ

$\large \sf mg \cdot 4R = m \left( g\cdot 2R + \dfrac{v_x^2}{2} \right)$   ⟹ Divida ambos os membros por m.

$\large \sf g \cdot 4R = g\cdot 2R + \dfrac{v_x^2}{2}$  ⟹ Subtraia 2Rg de ambos os membros.

$\large \sf 2Rg = \dfrac{v_x^2}{2}$  ⟹ Multiplique ambos os membros por 2.

4Rg = vₓ²  ① ⟹ Extraia a raiz quadrada de ambos os membros.

$\large \sf v_x = 2 \sqrt {Rg}$

A velocidade da esfera no ponto x é $\large \sf 2 \sqrt {Rg}$.

• No ponto x a esfera está submetida a duas forças verticais para baixo: a força peso (P) e a força normal (N), de reação do trilho.
• Como nesse ponto a esfera não se desloca na vertical então há uma força contrária, vertical para cima, de mesma intensidade, a força centrípeta, que pode ser obtida por:

$\large \sf F_c = \dfrac {mv_x^2}{R}$  ⟹ Substitua a equação ① nessa equação.

$\large \sf F_c = \dfrac {m4Rg}{R}$  ⟹ Simplifique o segundo membro.

$\large \sf F_c = 4mg$

• Equacione conforme descrito no parágrafo anterior.

$\large \sf P + N = F_c$ ⟹ Substitua.

mg + N = 4mg ⟹ Subtrai mg de ambos os membros.

N = 3mg

A força normal exercida sobre a esfera no ponto x é 3mg, onde:

m: massa da esfera

g: aceleração gravitacional

Aprenda mais em:

• https://brainly.com.br/tarefa/37724459
• https://brainly.com.br/tarefa/43423027
• https://brainly.com.br/tarefa/37321951