(UEL-PR) Um empresário comprou um apartamento com intenção de investir seu dinheiro. Sabendo-se que esse imóvel valorizou 12% ao ano, é correto afirmar que seu valor duplicou em, aproximadamente:
(Dados:log2 = 0,30 e log7 = 0,84)
resposta: 7 anos e 6 meses
Soluções para a tarefa
Primeiro você monta a equação dos juros compostos:
2C (duplicou o valor) = C*(1 + 0,12)^t --> 2C/C = (1,12)^t --> 2 = (1,12)^t
Para resolvermos isso, devemos usar logaritmos de bases iguais (no nosso caso, 10, pois os dados da questão tem base 10 também):
log 2 = log (1,12)^t --> Utilizamos a propriedade de passar a potência do logaritmando multiplicando o log --> log 2 = t*log 1,12 --> Sabemos que log 2 = 0,30, então --> 0,30 = log 1,12^t --> Fatorando o número 1,12 com os números 2 e 7, transformamos ele em log 2^4*7/100 --> Utilizando a propriedade de separar os logaritmandos que multiplicam ou dividem por outros logaritmos que somam ou diminuem, ficamos com ---> 0,30 = t(log 7 + 4.log 2 - 2.log 10). ---> Substituindo os valores dos logs (utilizando os dados da questão) ---> 0,30 = t(0,84 + 1,2 - 2) --> 0,30 = 0,04t --> 0,30 / 0,04 = t ---> t = 7,5.
O valor do imóvel duplicou em, aproximadamente, 7 anos e 6 meses.
A valorização do imóvel é dada através de juros compostos, ou seja, seu valor a cada ano pode ser dado pela equação:
M = C(1 + i)^n
onde M é o valor do imóvel n anos após sua compra, C é o valor inicial do imóvel e i é a taxa de valorização do imóvel. Para que o imóvel duplique o seu valor, temos que M = 2C, logo:
2C = C(1 + 0,12)^n
2 = 1,12^n
Para isolar n, deve-se aplicar o logaritmo em ambos os lados:
log 2 = log 1,12^n
log 2 = n.log 1,12
0,3 = n.log (112/100)
0,3 = n.(log 112 - log 100)
Escrevendo 112 como 2⁴.7, temos:
0,3 = n.(log 2⁴ + log 7 - log 100)
0,3 = n(4.log 2 + log 7 - log 100)
0,3 = n(4.0,3 + 0,84 - 2)
0,3 = 0,04.n
n = 0,3/0,04
n = 7,5 anos (7 anos e 6 meses)
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