Question

(UEL-PR) O valor da expressão 1/√2 - 1/1+√2 - 1/2+√2 é:

Answer 1

$\dfrac{1}{ \sqrt{2}}- \dfrac{1}{1+ \sqrt{2}}- \dfrac{1}{2+ \sqrt{2}}= \\ \\ \\ \\ \dfrac{1}{ \sqrt{2}}* \dfrac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2}}= \boxed{\dfrac{ \sqrt{2} }{2}}} \ \\ \\ \\ \dfrac{1}{1+ \sqrt{2}}*\dfrac{1- \sqrt{2} }{1- \sqrt{2}}= \dfrac{1- \sqrt{2} }{(1)^2- (\sqrt{2})^2}=\dfrac{1- \sqrt{2} }{1- 2} = \dfrac{1- \sqrt{2} }{-1} = \boxed{-1+ \sqrt{2}}$


$\dfrac{1}{2+ \sqrt{2}}*\dfrac{2- \sqrt{2} }{2- \sqrt{2}}= \dfrac{2- \sqrt{2} }{(2)^2-( \sqrt{2})^2}= \dfrac{2- \sqrt{2} }{4-2}= \dfrac{2- \sqrt{2} }{2}= \boxed{1- \frac{1}{2} \sqrt{2} } \\ \\ ........................................................................................................ \\ \\ \\ \dfrac{1}{ \sqrt{2}}- \dfrac{1}{1+ \sqrt{2}}- \dfrac{1}{2+ \sqrt{2}}= \\ \\ \\\dfrac{ \sqrt{2} }{2}} -(-1+ \sqrt{2})-( 1- \frac{1}{2} \sqrt{2}) =$

$\dfrac{ \sqrt{2} }{2}} +1- \sqrt{2}- 1+ \dfrac{1}{2} \sqrt{2} = \\ \\ \\ \dfrac{ \sqrt{2} }{2}} - \sqrt{2}+ \dfrac{1}{2} \sqrt{2} = \dfrac{ \sqrt{2}-2 \sqrt{2}+ \sqrt{2} }{2} = \dfrac{ 2\sqrt{2}-2 \sqrt{2}}{2} = \boxed{0}$

Answer 2

O valor da expressão 1/√2 - 1/1+√2 - 1/2+√2 é zero.

A expressão é:

 1   -    1     -     1     =

√2   1 + √2   2 + √2

Vamos racionalizar o denominador de cada termo.

 1   =  1 ·√2 = √2

√2    √2·√2      2

   1     =     1     · (1 - √2) = 1 - √2 = 1 - √2 = √2 - 1

1 + √2  (1 + √2) · (1 - √2)    1² - √2²    - 1

    1     =     1     · (2 - √2) = 2 - √2 = 2 - √2

2 + √2   (2 + √2) · (2 - √2)    2² - √2²     2

Logo:

√2 - (√2 - 1) - (2 - √2) =

2                         2

√2 - (2√2 - 2) - (2 - √2) =

2           2           2

√2 - 2√2 + √2 + 2 - 2 =

                2

- √2 + √2 = 0 = 0

       2           2

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