Question

(UEL) O valor da expressão $\frac{1}{\sqrt{2} } -\frac{1}{1+\sqrt{2} } -\frac{1}{2+\sqrt{2} }$ é:

Resposta: 0

Como chegar até esse resultado?

Answer 1

$\frac{1}{ \sqrt{2} } - \frac{1}{1 + \sqrt{2} } - \frac{1}{2 + \sqrt{2} }$

Vamos racionalizar cada fração.

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{(1+\sqrt{2})}.\frac{1-\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})}\\\frac{1-\sqrt{2}}{{1}^{2}-{(\sqrt{2})}^{2}}\\=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}=\sqrt{2}-1$

$\frac{1}{(2+\sqrt{2})}.\frac{2-\sqrt{2}}{(2-\sqrt{2})}\\\frac{2-\sqrt{2}}{{2}^{2}-{(\sqrt{2})}^{2}}\\\frac{2-\sqrt{2}}{4-2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}-(\sqrt{2}-1)-\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2-2+\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2-2}{2}=0$