Question

(Uel 95) O menor número inteiro n, estritamente positivo, que torna a expressão 3 500.n um cubo perfeito é? heeelllpppp :)

Answer 1

Se 3500n é cubo perfeito, ou seja, ele é igual ao cubo de algum número, que chamaremos de k.

$3500n=k^3 \\ \\ k= \ ^3\sqrt{3500n}$

Fatorando 3500:

3500 | 2
1750 | 2
875   | 5
175   | 5
35     | 5
7       | 7
1

Ou seja:

$k= \ ^3\sqrt{2^2\cdot5^3\cdot7\cdot n} \\ \\ k= \ 5 \ \cdot \ ^3\sqrt{2^2\cdot7\cdot n}$

Para que k seja inteiro, é necessário que n seja 2 * 7² = 98, porque assim:

$k= \ 5 \ \cdot \ ^3\sqrt{2^2\cdot7\cdot (n)} \\ k= \ 5 \ \cdot \ ^3\sqrt{2^2\cdot7\cdot (2\cdot 7^2)} \\ k= \ 5 \ \cdot \ ^3\sqrt{2^3\cdot7^3} \\ k= \ 5 \cdot 2 \cdot 7$

Ou seja, o menor n é 98.