Question

(UEL 2008) A identidade $\frac{1}{x(x^2-1)}= \frac{A}{x}+ \frac{B}{x-1}+ \frac{C}{x+1}$ é válida para todo x real  exceto  para   x = 0  ,   x = −1 e x = 1.Nessas condições, os valores de A, B e C, nessa ordem são:

Answer 1

Primeiramente temos que tirar o MMC

x.(x-1)(x+1)
x(x²-x+x-1)
x(x²-1) >>>>>>>> Esse é o MMC, que é o mesmo que está debaixo do 1.

Agora é só montar:

$\frac{1=A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)}{x(x-1)(x+1)} \\ \\ 1=A(x^2-1)+Bx^2+Bx+Cx^2-Cx \\ 1= Ax^2-A+Bx^2+Bx+Cx^2-Cx \\ 0x^2+0x+1=(A+B+C)x^2+(B-C)x-A$


Agora é só igualar:
1=-A
A=-1

A+B+C=0
-1+B+C=0
B+C=1

B-C=0 >>>>> Repare que quem está na frente x é o 0.
B-C=0

Agora é só fazer um sistema linear.

B+C=1
B-C=0
2B=1
B=1/2

B-C=0
1/2-C=0
1/2=C

A=-1
B=1/2
C=1/2