Question

(UEFS 2014.2) O domínio e a imagem da função y(x)= 3cos2(2x) + 4 são, respectivamente:

Answer 1

Antes de começar a solução você tem que saber que cos²x = (1+cos2x)/2, logo cos²2x = (1+cos4x)/2

y = 4 + 3cos²2x

y = 4 + 3[(1+cos4x)/2]

y = 4 + (3+3cos4x)/2]

y = 4 + 3/2+(3/2)cos4x

y = 11/2+(3/2)cos4x

-1 ≤ cos4x ≤ 1

-1(3/2) ≤ (3/2)cos4x ≤ 1(3/2)

-3/2) ≤ (3/2)cos4x ≤ 3/2

-3/2 + 11/2 ≤ 11/2+ (3/2)cos4x ≤ 3/2 + 11/2

4 ≤ 4+ (3/2)cos4x ≤ 7

Imagem de f é [4, 7]
domínio = R
periodo 2π/4 = π/2

Answer 2

y(x) = cos²2x => y(x) = 1/2(1 + cos4x)
y(x) = 4 + 3cos²2x = 4 + 3.1/2(1 + cos4x)
y(x) = 4 + 3/2 + 3/2cos4x
y(x) = 11/2 + 3/2cos4x

Seja y = a + bcos(cx+d), podemos mostrar que:
Im = {a - b, a + b }
p = (2π)/|c|

Respondendo a  questão:

a) Domínio é IR

b) Im = [11/2 -3/2, 11/2 + 3/2]
    Im = [4, 7 ]

c) Período
    p = 2π/4
    p = π/2