Question

(UECE) Sobre os lados XY, YZ e ZX do
triângulo equilátero XYZ tomam–se
respectivamente os pontos U, V e W, de modo
que as medidas dos segmentos XU, YV e ZW
são iguais. Se o triângulo YUV é retângulo e a
medida do segmento UV é igual a 3 m, então,
a medida da área do triângulo XYZ, em m2
, é

Answer 1

Obtemos que a área do triângulo XYZ vale $\frac{27\sqrt3}{4}$

Observe a figura em anexo:

Como UV é perpendicular a YV, temos então um triangulo retângulo UVY com o ângulo em Y = 60º, em V=90º e em U=30º

Note também que os pontos W, V, e U formam um triângulo equilpatero de lados iguais a UV=3m.

Sabendo disso, podemos afirmar que YV=$\frac{1}{2}$UY

Usando o teorema de pitágoras podemos obter os valores dos lados UY e YV:

$UY ^2=UV^2+YV^2\\\\\frac{3}{4}UY ^2=UV^2\\\\ UY^2 = \frac{4}{3}UV^2\\\\ UY^2 = \frac{4}{3}3^2\\\\ UY^2 = 4\times3\\\\ UY = 2 \sqrt3 m$

como $YV=\frac{1}{2}UY$ então $YV=\sqrt{3}m$

Vamos obter agora o lado do triangulo XYZ:

O lado XY tem o tamanho igual a soma de UY e YV.

$XY=2\sqrt3+\sqrt3=3\sqrt3$

Vamos agora obter a altura h:

Novamente, pelo teorema de Pitágoras:

$XY^2 = (\frac{XY}{2})^2 + h^2\\\\XY^2-\frac{XY^2}{4}=h^2\\\\\frac{3}{4}XY^2=h^2\\\\h=\frac{\sqrt{3}}{2}XY=h=\frac{\sqrt{3}}{2}3\sqrt3=\frac{9}{2}$

A área do triângulo equilátero XYZ vale

$\frac{XY\times h}{2}=\frac{1}{2}\frac{9}{2}3\sqrt3=\frac{27\sqrt3}{4}$

Answer 2

Letra C caderno anglo 4