Question

(UECE) Sejam Q1(x1,y1) e Q2(x2,y2) os pontos de intersecção da reta de equação y+2=0 com a circunferência de centro no ponto P(-4,1) e raio r centímetros. Se x1<x2 e Q1Q2=8cm, então a equação dessa circunferência é

Answer 1

- Geometria Analítica -

Centro = C (-4,1)

Equação reduzida ---> (x+4)² + (y-1)² = r²

Como y + 2 = 0 -----> y = -2 . Substituindo na Equação, vem:

(x+4)² + (-2-1)² = r²

(x+4)² + 9 = r²

x² + 8x + 16 + 9 - r² = 0

x² + 8x + 25 - r² = 0

Daqui, tiramos a soma das raízes x1 e x2:

S = -b/a = -8/1 = -8

Portanto:

x1 + x2 = -8 ----> x1 = -8 - x2

É dito que Q1Q2 = 8cm

Perceba que os pontos Q1 e Q2 são:

Q1 (x1,-2) e Q2 (x2,-2) pois os pontos de interseção com a reta y + 2 = 0 necessariamente terão ordenada (valor de y) igual a -2.

Logo, a distância entre Q1 e Q2 pode ser dada assim:

d² = (x2-x1)² + [ -2 - (-2) ] ²

d² = (x2-x1)² + 0²

8² = (x2-x1)²

64 = (x2-x1)²

Como x2>x1 ----> x2 - x1 > 0 e, dessa forma:

x2-x1 = √64

x2-x1 = 8

Como: x1 = -8 - x2 vem:

x2 - ( -8 - x2 ) = 8

x2 + 8 + x2 = 8

2x2 = 0

x2 = 0

x1 = -8 -x2 = -8 - 0 = -8

x1 = -8

Substituindo x = 0 ou x = -8 (tanto faz) na equação (x+4)² + 9 = r² teremos:

(0+4)² + 9 = r²

16 + 9 = r²

25 = r²

Substituindo o valor de r² = 25 na Equação reduzida ---> (x+4)² + (y-1)² = r² ficamos com:

(x+4)² + (y-1)² = 25 ----> Equação reduzida

Desenvolvendo os produtos notáveis:

x² + 8x + 16 + y² - 2y + 1 = 25

x² + y² + 8x - 2y + 17 = 25

x² + y² + 8x - 2y - 8 = 0

Portanto, a equação geral da circunferência em questão é:

x² + y² + 8x - 2y - 8 = 0

Answer 2

Boa noite

A reta y+2=0 é horizontal e todos os seus pontos têm ordenada -2 .

A reta perpendicular a y+2=0 que passa por P determina o ponto Q de

coordenadas (-4 , -2 ) . Temos então as medidas dos segmentos PQ=3

e Q(Q2) = 4 . Do triângulo PQ(Q2) temos [P(Q2)]²=PQ²+ [Q(Q2)]² ou

r² = 3²+4² ⇒ r² = 9+16 ⇒ r²=25

A equação da circunferência é (x+4)²+(y-1)²=25