Question

(UECE) Se V é uma matriz quadrada e n é um número natural maior do que um, define-se Vn = V · Vn–1. Com essa definição, para a matriz  , pode-se afirmar corretamente que o valor do determinante da matriz Y = V + V2 + V3 + ... + V2016  é igual a​

Answer 1

O determinante da matriz Y é igual a 2016.2016.

Temos que a matriz V é igual a $V = \left[\begin{array}{ccc}1&2\\0&1\end{array}\right]$.

Para definirmos a matriz Y = V + V² + V³ + ... + V²⁰¹⁶ é importante sabermos que ao elevarmos a matriz a um expoente, temos que multiplicar os elementos da diagonal secundária pelo expoente, ou seja, a matriz Y é igual a:

$Y = \left[\begin{array}{ccc}1&2\\0&1\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ccc}1&4\\0&1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}1&6\\0&1\end{array}\right] +...+\left[\begin{array}{ccc}1&4032\\0&1\end{array}\right]$.

Para somar as matrizes acima, temos que o elemento y₁₁ é igual a 2016, assim como o elemento y₂₂.

O elemento y₂₁ é igual a 0. Agora, precisamos calcular o elemento y₁₂.

Perceba que y₁₂ = 2 + 4 + 6 + ... + 2016.

Utilizando a Progressão Aritmética, temos que:

2016 = 2 + (n - 1).2

2014 = 2n - 2

2016 = 2n

n = 1008.

Logo,

$Sn = \frac{(2+2016).1008}{2}$

Sn = 504.2018

Sn = 1017072.

Portanto, y₁₂ = 1017072. Assim, temos que: $Y = \left[\begin{array}{ccc}2016&1017072\\0&2016\end{array}\right]$.

Agora, basta calcularmos o determinante da matriz Y, ou seja,

d = 2016.2016 - 0.1017072

d = 2016.2016.