Question

Uece - Se a medida dos comprimentos dos lados de um triângulo retângulo forma uma uma progressão geométrica crescente, então a razão dessa progressão é igual a

Answer 1

Resposta:

b)

$\sqrt{ \frac{1 + \sqrt{5} }{2} }$

Explicação passo-a-passo:

Lembremos:

I) A progressão geométrica é uma sucessão de números reais obtida, a partir do primeiro número, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

exemplo 1 :

PG = (2, 4, 8, 16...), onde q = 2

pois PG = ( 2, 2(×2), 4 (×2), 8 (×2) ...)

II) A razão q de uma PG pode ser encontrada a partir da divisão de um termo da sequência pelo seu antecessor.

exemplo: PG = (m, n, o, p...)

$q = \frac{n}{m}$

no exemplo 1 acima:

$q = \frac{8}{4} = 2$

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Resolvendo o exercício

Sejam os lados do triângulo retângulo chamados a, b (os catetos) e h, a hipotenusa, sendo que

a < b < h

a progressão geométrica PG será:

PG = (a,b,h)

Podemos escrever essa PG de razão q como

PG = (a,b,h) = (a, a×q, a×q×q) = (a, a.q, a.q²)

de onde tiramos, igualando os termos, que:

b = a.q

h = a.q²

TAMBÉM Sabe-se, pelas relações geométricas do triângulo retângulo, que "o quadrado da hipotenusa é a soma do quadrado dos catetos" :

h² = a² + b²

De onde deduz-se:

$h = \sqrt{a² + b²}$

como demonstramos que b = a.q e h = a.q² , podemos substituir nesta fórmula:

$➝ (a.q²)= \sqrt{a² + (a.q)²}$

Com o objetivo de isolar q, podemos "se livrar" da raiz elevando os dois lados da expressão ao quadrado

$(a.q²) ² = [\sqrt{a² + (a.q)²} \: ] \: ²$

${q}^{4}= \frac{a² \: + \: a².q²}{a²} =$

${q}^{4}= \frac{a²}{a²}\: + \: \frac{a².q²}{a²} = 1 + q²$

${q}^{4} - {q}^{2} = 1$

Para reslver a equação de 4º grau deixamos primeiramente ela da forma:

${q}^{4} - {q}^{2} - 1 = 0$

${({q}^{2})}^2 - {q}^{2} - 1 = 0$

E podemos "chamar" q² de x (x=q²), e assim obter a forma de uma equação de 2º grau e resolver:

${x}^{2} - x - 1 = 0$ com: a=1, b= -1, c= -1

∆ = b² – 4ac

∆ =(–1)² – 4(1)(–1)

∆ = 1 – 4(–1)

∆ = 1 – (–4)

∆ = 1 +4 = 5

*obs: ( a, b e c aqui são os coeficientes da equação quadrática: ax²+ bx+c. NÃO confundir com os o 'nome' que damos aos catetos no começo)

por Bhaskara, temos:

$x = \frac{- b ± \sqrt{∆} }{2.a}$

$x = \frac{- (-1) ± \sqrt{5}}{2.(1)}$

$x = \frac{1 ± \sqrt{5}}{2}$

de onde obtemos duas raízes:

$x1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

e

$x2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Como sabemos que √5 > √4,ou seja que √5> 2, o valor de x2 ficaria negativo.

E valores negativos não fazem sentido para nossa resolução pois q² = x e nenhum número real ao quadrado dá negativo.

Assim, somente a raiz positiva x1, satisfaz essas condições e portanto

q² = x1

$q = \sqrt{x1}$

$q =\sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

(alternativa B)