Question

(UECE) Resolver a equação tg^2(x) + sen^2(x) = 3cos^2(x) no intervalo [0, 2π]. A soma de todas as suas raízes nesse intervalo é igual a: a) 4π b) 3π c) 2π d) π

Answer 1

Vamos lá:

tg²x + sen²x = 3cos²x

Pela regra fundamental da trigonometria:

sen²x + cos²x = 1
sen²x = 1 - cos ²x

Substituindo na fórmula:

tg²x + 1 - cos²x = 3cos²x
tg²x + 1 = 3cos²x + cos²x
tg² + 1 = 4cos²x

Se fizermos uso da regra fundamental da trigonometria novamente:

sen²x + cos²x = 1

Dividindo tudo por cos²x:

(sen²x/cos²x) + (cos²x/cos²x) = (1/cos²x)
(sen²x/cos²x) = tg²x
tg²x + 1 = (1/cos²x)

Substituindo:

tg²x + 1 = 4cos²x
(1/cos²x) = 4cos²x
1 = 4cos²x.cos²x
4cos^4(x) = 1

Se indicarmos que cos²x = y e cos^4(x) = (cos²)², substituindo:

4y² = 1
y² = 1/4
y = raiz quadrada de 1/4
y = 1/2

Porém:

cos²x = y
cos²x = 1/2
cos x = + ou - (raiz quadrada de 1)/2
cos x = + ou - (raiz quadrada de 2)/2

Esse valor corresponde a 45° e a seus angulos correspondentes, como 135°, 225° e 315°, e seus valores em radiandos são pi/4, 3pi/4, 5pi/4 e 7pi/4, respectivamente.

somando tudo, temos 16pi/4, o que dá 4pi

Resposta item a

Espero ter ajudado