Question

(UECE) O valor de m para o qual o gráfico da função linear g(x) = mx contém o vértice da parábola que configura o grafico da função quadrática f(x)= x^2-6x-7 é?

Answer 1

Função: $f(x)= x^2-6x-7$

Primeiro, encontrando os vértices desta parábola:
Xv:
$Xv = -\frac{b}{2 \cdot a} \\ \\ Xv= - \frac{(-6)}{2 \cdot 1} \\ \\ \boxed{Xv= 3}$

Yv:
$Yv= - \frac{b^2-4 \cdot a \cdot c}{4 \cdot a} \\ \\ Yv= - \frac{(-6)^2-4 \cdot 1 \cdot (-7)}{4 \cdot 1} \\ \\ \boxed{Yv= - 16}$

Precisa-se que a função linear $g(x)= mx$ passe pelos vértices da parábola, então, teremos que
$m = tg ~\alpha \\ \\ tg ~\alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\ tg ~\alpha= \frac{-16-0}{3-0} \\ \\ tg ~\alpha = - \frac{16}{3} ~~~\to ~~~ \boxed{m= - \frac{16}{3}}$

Obs.: Como se trata de uma função linear incompleta, esta passa pelos pontos (0,0) no plano cartesiano.