Question

(UEB) Determine a excentricidade da elipse cuja equação é 4x^2+y^2+2y-3=0

Sugestão: Obtenha a equação reduzida dessa elipse. Para isso, agrupe os termos em y e adicione uma mesma constante a esse agrupamento e ao segundo membro da igualdade, de modo a transformar o agrupamento em y num trinômio quadrado perfeito.

O valor da excentricidade é e= √3÷2

e= c÷a

Logo, c= √3 e a=2

Tentei resolver, mas não consegui.
Me ajudem, com a resolução passo a passo, por favor!!!

Answer 1

$4x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$

É útil lembrar que $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Temos uma parte semelhante nessa equação:
$y^2 + 2y - 3$
que é justamente igual a:
$y^2 + 2y + 1 - 4 \\ (y+1)^2 - 4$

Substituindo na equação original:
$4x^2 + (y+1)^2 - 4 = 0 \\ 4x^2 + (y+1)^2 = 4$

Dividindo os dois lados por 4:
$x^2 + \dfrac{(y+1)^2}{4} = 1$

Nessa equação, $a = \sqrt{4}=2$ e $b = 1$.
Para a elipse, $a^2 = b^2 + c^2$
Então
$2^2 = 1^2 + c^2 \\ 3 = c^2 \\ c= \sqrt{3}$
Enfim:
$e=\dfrac{c}{a} \\ e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$