Question

(UEA/AM) Se tgx=2, quanto vale: $\frac{cos^{2}x }{1+sen^{2}x }$

a)$\frac{1}{9}$
b)$\frac{1}{7}$
c)$\frac{1}{5}$
d) 7
e) 9

Answer 1

Olá, tudo bem?

Sabe-se que a função tangente relaciona-se com as funções seno e cosseno mediante a fórmula:

$\tan(x) = \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) }$

Não, só mas também, por definição:

tan (x) = cateto oposto/cateto adjacente

Como tan(x) = 2, portanto:

2 = cateto oposto/cateto adjacente

2/1 = cateto oposto/cateto adjacente

Em suma: cateto oposto = 2 e cateto adjacente = 1.

Vamos determinar o valor da hipotenusa desse triângulo. Pelo Teorema de Pitágoras:

c² = a² + b²

c² = 2² + 1²

c² = 4 + 1

c² = 5

c = √5

E, sabe-se que:

sen (x) = cateto oposto/hipotenusa

cos (x) = cateto adjacente/hipotenusa

Portanto:

sen (x) = 2/√5

sen (x) = 2√5/5

cos (x) = 1/√5

cos (x) = √5/5

Então:

cos² (x)/1 + sen² (x)

= (√5/5)²/1 + (2√5/5)²

= 5/25/ 1 + 4×5/25

= 5/25 / 1 + 20/25

= 5/25 / 25+20/25

= 5/25 × 25/45

= 5/45

= 1/9

Letra a)

Espero ter ajudado!

Answer 2

Resposta:

Letra A

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que:

sec²x - 1 = tg²x

sec²x - 1 = 2²

sec²x = 4 + 1

sec²x = 5 (cosx é inverso da secx).

cos²x = 1/5

sen²x + cos²x = 1

sen²x + 1/5 = 1

sen²x = 1 - 1/5

sen²x = (5 - 1)/5

sen²x = 4/5

cos²x : (1 + sen²x) = 1/5 : (1 + 4/5) = 1/5 : (5 + 4)/5 = 1/5 : 9/5 = 1/5 . 5/9 = 1/9