Question

(UDESC-SC/2008) Se as retas x+2y=-6 e 6x+y=8 se interceptam no centro de uma circunferência de raio unitário , a equação dessa circunferência é :

Answer 1

Para montar a equação de uma circunferência, precisamos das coordenadas x e y do centro dela e do raio. No caso, nós já temos o raio, que é igual a 1.

Portanto, agora a gente precisa descobrir as coordenadas do centro. Sabemos que as duas retas dadas se interceptam no centro, então, basta a gente descobrir qual é essa intersecção. Como fazemos isso? Bom, concorda que se é o ponto de intersecção das duas retas, quer dizer que nesse ponto os x e os y são iguais, né?

Então, vou isolar o y nas duas equações:

x+2y = -6

2y = -6 -x

y = (-6-x)/2 (*)

na segunda equação:

6x+y=8

y =8 - 6x (**)

Como vimos, os y são iguais em ambas as retas, portanto, igualando (*) e (**):

(-6-x)/2 = 8 -6x

-6-x = 16 - 12x

11x = 22

x = 2

Agora, só substituir o valor de x em qualquer das duas expressões para descobrir o y:

y = 8-6x

y = 8 - 6 (2)

y = 8 - 12

y = -4

Agora é só jogar na fórmula da circunferência, que é

C: (x-a)² + (y-b)² = r² onde a e b são as coordenadas respectivas x e y do centro e r o raio:

C: (x-2)² + (y+4)² = 1

pra forma geral, só abrir a equação:

x² - 4x + 4 + y² + 8y + 16 - 1 = 0

x² -4x + y² + 8y +19 = 0