Question

UDESC 2013-- A função definida por f(x)=1+x ² é uma função bijetora, se os conjuntos que representam o domínio (D(f)) e a imagem (Im(f)) são:
(A) () = ℝe() = [1;+∞[
(B) () = ]−∞; 0]e() = ℝ.
(C) () = ℝe() = ℝ.
(D) () = [0;+∞[e() = [0;+∞[
(E) () = [0;+∞[e() = [1;+∞[

Answer 1

O domínio dessa função vai ser qualquer número Real e sua imagem vai ser $[1, \infty]$

Letra A) $D(F)= \mathbb{R}~~~(IM(F)=[1, +\infty]$

A questão pede o domínio é a imagem  da função

Primeiro pra responder essa questão temos que saber duas coisas, o que é um domínio de uma função e o que uma imagem de um função

• Domínio da função seria os números possíveis que X poderia ser na função

• A imagem de um função seria os valores que resultaria da equação da função. Ou seja, os valores de F(x)

agora que sabemos o que é um domínio é imagem vamos a questão

Primeiro precisamos achar o domínio da função e isso é bem simples basta olharmos a equação da função

$1+X^2$

Precisamos pensar, existe algum número que possamos substituir por X que gere alguma indeterminação? a resposta é não

• Indeterminação na matematica são valores que não conseguirmos dizer o valor como $\dfrac{0}{0}$  ,  $\sqrt{-2}$ ou seja valores que não fazem parte do conjunto dos números Reais

Podemos substituir X por qualquer número 5, -5 , 0 , $\sqrt{3}$ é sempre obteremos algum valor ou seja  podemos substituir X por qualquer número que nunca obteremos indeterminação

ou seja podemos dizer que o domínio dessa função são todos os número Reais

$D= \mathbb{R}$

agora vamos para a imagem da função

Precisamos analisar os valores que F(x) pode ser, pra isso necessitamos olhar a equação da função  $1+X^2$

Perceba que nossa variável sempre será elevada ao quadrado ou seja, o resultado dela  sempre será um número positivo pois qualquer número elevado ao quadrado fica positivo

e esse número depois de ser elevado ao quadrado será somado a 1

então podemos concluir que o menor valor de $X^2$ será 0 somado com um da 1, o que quer dizer que o menor valor de F(x) será 1  e pode ir ate o infinito positivo

Então a imagem da função é  $Im(f)= [1, +\infty ]$

Vou anexar uma foto que mostra o gráfico da função perceba que a os valores dera serão sempre iguais ou maiores que 1