(Ucpel-RS) Considerando que as três retas no plano xy dadas pelas equações y = 2 – 4x, x + 4y – 3 = 0 e y = 2b – 3x interceptam-se num ponto P, pode-se afirmar que o valor de b é:
Soluções para a tarefa
Dados:
F(x) = 2 – 4x
x + 4y – 3 = 0
H(x) = 2b – 3x
Resolução:
x + 4y – 3 = 0
G(x) = (3 - x) / 4
F(x) = G(x)
2 - 4x = (3 - x) / 4
8 - 16x = 3 - x
15x = 5
x = 1 / 3
F(1 / 3) = 2 - (4) / 3
F(1 / 3) = y = 2/3
H(x) = 2b - 3x
2/3 = 2b - 1
2 = 6b - 3
5 = 6b
b = 5 / 6
Resposta:
5 / 6
O valor de b na equação y = 2b - 3x que faz com que a reta se intercepte no ponto P é b = 5/6, o que torna correta a alternativa d).
Para resolvermos esse exercício, temos que aprender o que é um sistema linear. Um sistema linear é um conjunto de equações e variáveis que se relacionam. Através de métodos, podemos encontrar o valor de cada uma das variáveis.
Foi informado que as três retas se encontram no mesmo plano, e que as três se interceptam em um ponto P. Com isso, para encontrarmos o valor de b, devemos encontrar esse ponto a partir das retas que possuem seus coeficientes.
Com isso, temos um sistema é composto de duas equações e duas váriáveis. Assim, podemos resolvê-lo através do método da substituição.
- x + 4y = 3 (equação 1)
- 4x + y = 2 (equação 2)
Isolando x na primeira equação, temos que x = 3 - 4y. Substituindo esse valor na segunda equação, obtemos que 4(3 - 4y) + y = 2.
Aplicando a propriedade distributiva, temos que 12 - 16y + y = 2. Com isso, temos que -15y = -10. Por fim, y = -10/-15 = 2/3.
Substituindo esse valor na primeira equação, temos que x + 4*2/3 = 3. Assim, x = 3 - 8/3 = 1/3.
Com isso, descobrimos que o ponto P que as duas retas se interceptam é x = 1/3 e y = 2/3.
Com isso, sabendo os valores de x e y, podemos substituir esses valores na equação que possui o coeficiente b desconhecido para descobri-lo.
Substiuindo, temos que 2/3 = 2b - 3*1/3. Assim, 2/3 = 2b - 1.
Multiplicando os dois lados por 3, temos que 3*2/3 = 3*2b - 3*1. Assim, 2 = 6b - 3. Por fim, 2 + 3 = 6b. Com isso, b = 5/6.
Assim, concluímos que o valor de b na equação y = 2b - 3x que faz com que a reta se intercepte no ponto P é b = 5/6, o que torna correta a alternativa d).
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