Question

(UCPEL/2012 - ADAPTADA) A solução da equação abaixo é:

log9 x + log27 x = 0

A) 1
B) 3
C) 6
D) 9

Answer 1

⠀⠀A solução da equação proposta se enquadra na alternativa a. 1.

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Considerações

⠀⠀Desejamos encontrar a solução da equação logarítmica dada. Para isso é fundamental termos conhecimento sobre algumas propriedades dos logaritmos, pois é com elas que iremos desenvolver a expressão, sendo que nosso intuito será juntar os logaritmos para usar a definição. Veja abaixo algumas das propriedades que foram usadas aqui:

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   $\bullet~~\sf P_1)~~\ell og_{p^k}\,q=\dfrac{1}{k}\cdot\ell og_p\,q$

   $\bullet~~\sf P_2)~~\ell og_p\,q=k~\Leftrightarrow~q=p^k$

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⠀⠀A P₁ é o logaritmo que possui uma potência em sua base, cujo é igual ao logaritmo de uma base que é igual à base dessa potência, sendo multiplicado pelo inverso do expoente.

⠀⠀A P₂ na verdade é a definição de logaritmo, sendo que o logaritmo de q, onde q > 0, numa base p, em que 0 < p ≠ 1, é igual a um valor k se, e somente se, q for igual a p elevado à k.

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Resolução

⠀⠀Sem mais delongas, vamos desenvolver os cálculos com base nas propriedades supramencionadas (obs.: pela condição de existência dos logaritmos temos que ter x > 0):

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                                       $\Large\begin{array}{c}\sf\ell og_9\,x+\ell og_{27}\,x=0\\\\\sf\ell og_{3^2}\,x+\ell og_{3^3}\,x=0\\\\\sf\dfrac{1}{2}\cdot\ell og_3\,x+\dfrac{1}{3}\cdot\ell og_{3}\,x=0\\\\\sf\bigg(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\bigg)\cdot\ell og_3\,x=0\\\\\sf\bigg(\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}\bigg)\cdot\ell og_3\,x=0\\\\\sf\dfrac{5}{6}\cdot\ell og_3\,x=0\\\\\sf\ell og_3\,x=0\cdot\dfrac{6}{5}\\\\\sf\ell og_3\,x=0\\\\\sf x=3^0\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=1}}\end{array}$

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⠀⠀Dessa forma, concluímos que a solução dessa equação é x = 1 (perceba que esse valor é verdadeiro diante da C.E. imposta, onde x > 0) e, portanto, a alternativa a. responde a questão.

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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                        $\large\boldsymbol{B\theta\eta s~\epsilon s\tau\upsilon d\theta s~\epsilon~\upsilon m~cord\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!}$