Question

(UCPEL/2012) A solução da equação log9x + log27x = 5/3 é:

a) 1/3
b) 3
c) 1/6
d) 6
e) 9

COM CALCULOS POR FAVOR

Answer 1

⠀⠀A solução da equação dada é condizente à alternativa e) 9.

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⠀⠀De início, a questão nos dá a seguinte equação logarítmica:

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                                          $\Large\begin{array}{c}\sf\ell og\:\!_9\,x+\ell og\:\!_{27}\,x=\dfrac{5}{3}\end{array}$

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⠀⠀Nosso intuito será encontrar a solução dessa equação, que é o valor de x que torna essa igualdade verdadeira. Para isso, podemos começar usando a propriedade do logaritmo numa base de uma potência, pois $\small\sf\ell og\:\!_{p^q}\,r=\frac{1}{q}\cdot\ell og\:\!_q\,r$, assim:

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                                     $\Large\begin{array}{c}\sf\ell og\:\!_9\,x+\ell og\:\!_{27}\,x=\dfrac{5}{3}\\\\\sf\ell og\:\!_{3^2}\,x+\ell og\:\!_{3^3}\,x=\dfrac{5}{3}\\\\\sf\dfrac{1}{2}\cdot\ell og\:\!_3\,x+\dfrac{1}{3}\cdot\ell og\:\!_3\,x=\dfrac{5}{3}\end{array}$

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⠀⠀Agora, veja que podemos colocar o valor ''$\small\sf\ell og\:\!_3\,x$'' em evidência, de modo que tenhamos:

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                                  $\Large\begin{array}{c}\sf(\ell og\:\!_3\,x)\cdot\bigg(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\bigg)=\dfrac{5}{3}\\\\\sf(\ell og\:\!_3\,x)\cdot\bigg(\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}\bigg)=\dfrac{5}{3}\\\\\sf(\ell og\:\!_3\,x)\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{3}\\\\\sf\ell og\:\!_3\,x=\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{6}{5}\\\\\sf\ell og\:\!_3\,x=\dfrac{1}{1}\cdot\dfrac{2}{1}\\\\\sf\ell og\:\!_3\,x=2\end{array}$

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⠀⠀Agora, se esse logaritmo é igual à 2 podemos aplicar a definição de logaritmo, onde $\small\sf\ell og\:\!_p\,q=r~\Leftrightarrow~q=p^r$, de modo a encontrar:

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                                                    $\Large\begin{array}{c}\sf\ell og\:\!_3\,x=2\\\\\sf x=3^2\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=9}}\end{array}$

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⠀⠀Portanto, podemos afirmar que o valor de x se enquadra na alternativa e) 9.

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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                          $\large\boldsymbol{B\theta\eta s~\epsilon s\tau\upsilon d\theta s~\epsilon~\upsilon m~cord\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!}$