Question

(UAM-SP)Ao resolvermos uma equação ou inequação logaritmica, devemos tomar o cuidado de examinar a condição de existência do logaritmo, do contrário poderemos dar uma resposta errada.
Não esquecendo desse detalhe, diga qual é a solução da seguinte inequação: log4(x+2)-log4(x-1)?

Me ajudem por favorrrrr!!!!!!

Answer 1

log4 (x+2) - log4  (x-1) < 1

 log4 (x+2/x-1) < 1

 log4 (x+2/x-1) - 1 < 0

 log4 (x+2/4(x-1) < 0

Aplicando a propriedade fundamental do logaritmo:

 (x+2)/4(x-1) < 4^0

 (x+2)/4(x-1) < 1

 (x+2) / (4x-4) - 1 < 0

Aplicando o MMC:

 (x+2-4x-4) / (4x-4) < 0

 (-3x-2) / (4x-4) < 0

Agora precisamos fazer o estudo das duas funções.
-3x - 2 = 0
-3x = 2
x = -2/3
reta descrescente (a<0) com raíz em -2/3.
Para x< -2/3, a função assume valores positivos.
Para x > -2/3, a função assume valores negativos.

4x - 4 = 0
4x = 4
x = 1
reta crescente (a>0) com raíz em 1.
Para x < 1, a função assume valores negativos.
Para x > 1, a função assume valores positivos.

Fazendo a interseção das duas funções temos:
Para a função (3x - 2) / (4x - 4):
Para x < -2/3, a função assume valores positivos.
Para -2/3 < x < 1, a função assume valores negativos.
Para x > 1, a função assume valores positivos.

Não podemos esquecer da condição de existência do logaritmo, em que:
(x+2) / 4(x-1) < 0
É preciso analisar essas duas funções também separadamente.
x+2 = 0
x = -2
reta crescente com raíz em -2.
Para x < -2, a função é < 0.
Para x > -2, a função é > 0.

O estudo da função 4(x-1) já foi feito ali em cima.

Juntando todas as informações que obtivemos, como o enunciado pede valores menores que zero, temos que o conjunto solução do exercício é:

S = {-2 < x < 1}