Question

u Uma casca esf´erica de raio interno b e raio externo c, uniformemente carregada com densidade de carga volum´etrica ρ, envolve uma esfera concˆentrica de raio a, tamb´em carregada uniformemente com a mesma densidade. Calcule o vetor campo el´etrico nas quatro regi˜oes diferentes do espa¸co:

Answer 1

Resposta:

$\vec{E}(r) = \begin{cases}\dfrac{\rho}{3\varepsilon_1}r\hat{r},&\textrm{se }r<a \\\\ \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0 r^2}a^3\hat{r} & \textrm{se }a<r<b\\\\ \dfrac{\rho}{3\varepsilon_2r^2}(a^3-b^3+r^3)\hat{r} &\textrm{se } b<r<c\\\\ \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0 r^2}(a^3+c^3-b^3)\hat{r}&\textrm{se } r>c\end{cases}.$

Explicação:

Atendendo à geometria esférica do problema, sabemos que o campo elétrico é sempre perpendicular a superfícies gaussianas esféricas concêntricas, ou seja, $\vec{E} = E(r)\hat{r},$ sendo $\hat{r}$ um vetor radial unitário. Assim, vamos utilizar repetidamente a lei de Gauss:

$\displaystyle\iint\limits_S \vec{D}\cdot\textrm{d}\vec{s} = Q_S,$

onde $\vec{D} = \varepsilon\vec{E}$ é o vetor deslocamento elétrico e $Q_S$ é a carga envolvida pela superfície gaussiana $S$.

Vamos considerar superfícies gaussaianas esféricas $S_r$, de raio $r$, em quatro regiões (ver figuras):

• $r<a$, no interior da esfera;
• $a<r<b$, entre a esfera e a casca;
• $b<r<c$, no interior da casca;
• $r>c$, no exterior da casca.

Uma vez que a esfera está carregada uniformemente em volume, a carga no interior da superfície gaussaiana na primeira região é dada pelo produto da densidade de carga $\rho$ pelo volume $V$ limitado por $S_r$:

$Q_{r<a} = \rho V = \rho\dfrac{4}{3}\pi r^3.$

Por simetria, temos:

$\displaystyle\iint\limits_{S_r} \vec{D}\cdot\textrm{d}\vec{s} = D \underbrace{\iint\limits_{S_r} \textrm{d}s}_{=4\pi r^2} = \varepsilon_1 E \times 4\pi r^2,$

sendo $\varepsilon_1$ a permitividade elétrica da esfera.

Pela lei de Gauss, temos:

$\varepsilon_1 E \times 4\pi r^2 = \rho\dfrac{4}{3}\pi r^3 \iff E(r) = \dfrac{\rho}{3\varepsilon_1}r, \quad\textrm{para } r < a.$

Na segunda região, para qualquer $a<r<b$, a carga envolvida é sempre a carga total da esfera, que é:

$Q_{a<r<b} = \rho V = \rho\dfrac{4}{3}\pi a^3.$

Nesta região, a permitividade elétrica é $\varepsilon_0$, donde:

$\displaystyle\iint\limits_{S_r} \vec{D}\cdot\textrm{d}\vec{s} = \varepsilon_0 E \times 4\pi r^2.$

A lei de Gauss permite então concluir que:

$\varepsilon_0 E \times 4\pi r^2 = \rho\dfrac{4}{3}\pi a^3 \iff E(r) = \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0 r^2}a^3, \quad\textrm{para } a<r<b.$

Na terceira região, a carga contida é igual à carga total da esfera mais a carga da parte da casca abrangida pela superfície gaussiana. Esta carga é dada pelo produto da densidade de carga pelo volume, sendo este dado, por sua vez, pela diferença de volume entre uma esfera de raio $r$ e a esfera de raio $b$:

$Q_{b<r<c} = Q_{a<r<b} + \rho V = \rho\dfrac{4}{3}\pi a^3 + \rho\dfrac{4}{3}\pi r^3 - \rho\dfrac{4}{3}\pi b^3 = \rho\dfrac{4}{3}\pi (a^3-b^3+r^3).$

Sendo $\varepsilon_2$ a permitividade elétrica da casca esférica, tem-se:

$\displaystyle\iint\limits_{S_r} \vec{D}\cdot\textrm{d}\vec{s} = \varepsilon_2 E \times 4\pi r^2.$

A lei de Gauss permite obter finalmente:

$\varepsilon_2 E \times 4\pi r^2=\rho\dfrac{4}{3}\pi (a^3-b^3+r^3) \iff E(r) = \dfrac{\rho}{3\varepsilon_2r^2}(a^3-b^3+r^3) \quad\textrm{para } b<r<c.$

Na quarta região, a carga contida é igual à soma da carga total da esfera com a carga total da concha. O volume da concha corresponde à diferença de volumes entre a esfera de raio $c$ e a esfera de raio $b$:

$Q_{r>c} = \rho\dfrac{4}{3}\pi a^3 + \rho\dfrac{4}{3}\pi c^3 - \rho\dfrac{4}{3}\pi b^3 = \rho\dfrac{4}{3}\pi(a^3+c^3-b^3).$

Nesta região, a permitividade elétrica é $\varepsilon_0$, donde:

$\displaystyle\iint\limits_{S_r} \vec{D}\cdot\textrm{d}\vec{s} = \varepsilon_0 E \times 4\pi r^2.$

Da lei de Gauss, temos então:

$\varepsilon_0 E \times 4\pi r^2 = \rho\dfrac{4}{3}\pi(a^3+c^3-b^3) \iff E(r) = \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0 r^2}(a^3+c^3-b^3), \quad\textrm{para } r>c.$

Como referido, o campo elétrico é sempre radial, pelo que obtemos assim:

$\vec{E}(r) = \begin{cases}\dfrac{\rho}{3\varepsilon_1}r\hat{r},&\textrm{se }r<a \\\\ \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0 r^2}a^3\hat{r} & \textrm{se }a<r<b\\\\ \dfrac{\rho}{3\varepsilon_2r^2}(a^3-b^3+r^3)\hat{r} &\textrm{se } b<r<c\\\\ \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0 r^2}(a^3+c^3-b^3)\hat{r}&\textrm{se } r>c\end{cases}.$