Question

(U. TAUBATÉ - SP) Sendo n o valor que satisfaz a equação (n+1)!-n!/(n-1)! = 7n, então (n+3) é:

a) 3
b) 4
c) 5
d) 7
e) 10

** Tentei fazer os cálculos, porém, não sei se estão corretos já que meu professor alterou a questão.

Answer 1

Propriedade dos fatoriais :

$n ! \ = \ n \ * \ (n - 1)!$, em que $n$ é um número natural.

$\frac{(n\ + \ 1)! \ - \ n!}{(n \ - \ 1)!} \ = \ 7 \ * \ n \\ \\ \\ \frac{(n\ + \ 1) \ * \ n \ * \ (n \ - \ 1)! \ - \ n \ * \ (n - 1)!}{(n \ - \ 1)!} \ = \ 7 \ * \ n \\ \\ \\ (n\ + \ 1) \ * \ n \ - \ n \ = \ 7 \ * \ n \\ \\ \\ n^{2} \ + \ n - n = 7 \ * \ n \\ \\ \\ n^{2} \ = \ 7 * n \\ \\ \\ n^{2} - 7 \ * \ n \ = \ 0 \\ \\ \\ n \ * \ (n \ - \ 7) \ = \ 0$

Como só há fatorial de números naturais, $n \ \neq \ 0$ para não invalidar $(n \ - \ 1)!$ ...

Ficamos só com :

$n \ - \ 7 \ = \ 0 \\ \\ \\ n \ = \ 7$

Logo, $(n \ + \ 3) \rightarrow \ (7 + 3) \ = 10$

(Alternativa "e)").