Question

(U. TAUBATÉ - SP) Sendo n o valor que satisfaz a equação (n+1)!-n!/(n-1)! = 7n, então (n+3) é:

a) 3
b) 4
c) 5
d) 7
e) 10


** Tentei fazer os cálculos, porém, não sei se estão corretos já que meu professor alterou a questão.

Answer 1

Olá

Temos a seguinte equação de fatorial

$\dfrac{(n+1)!-n!}{(n-1)!}=7n$

Primeiro encontre a equação que define os valores n não pode ter

Iguale o denominador a zero

$(n-1)!\neq0\\\\\\ (n-1)\neq0\\\\\\ n \neq1\\\\\\ \boxed{\forall{n}\leq\{1\}~|~n\notin\mathbb{R}~|~S=\o}$

Simplifiquemos os valores no numerador

Saibamos que o fatorial de qualquer expressão é o seu próprio valor multiplicado pelo fatorial do seus antecessores

$\dfrac{(n+1)\cdot n\!-n\!}{(n-1)\!}=7n$

Usemos a mesma propriedade no fatorial que funciona como subtraendo

$\dfrac{n\!\cdot(n+1-1)}{(n-1)\!} =7n$

Simplifique a expressão

$\dfrac{n\cdot(n-1)\!\cdot n}{(n-1)\!}=7n\\\\\\ n\cdot n = 7n\\\\\\ n^{2}=7n$

Utilize a propriedade de equações do 2° grau para encontrar as raízes

$n^{2}=7n\\\\\\ n^{2}-7n=0\\\\\\ n\cdot(n-7)=0\\\\\\ n_1=0~~~~~~n_2=7$

Desconsidere os valores que n não pode ter

$\boxed{n=7}~~\checkmark$

Agora, substitua este valor na expressão que você busca

$(n+3)\\\\\\ 7+3\\\\\\ \boxed{\boxed{\boxed{10}}}}~~\checkmark$

Resposta correta letra e