(U. F. Uberlândia-MG) Quais das afirmações a seguir são necessariamente verdadeiras para todos os subconjuntos A e B do conjunto de números reais R, de acordo com a figura:
I. A U (A ͨ ∩ B) = B
II. (A ∩ B ͨ ) ∩ (A ͨ ∩ B) =
III. A ͨ U B ͨ = IR
IV. A ∩ (B ͨ U A) = A U (B ͨ ∩ A)
a) I, I e III
b) I II e IV
c) III e IV
d) II e IV
Soluções para a tarefa
Resposta:
d) II e IV
Explicação passo a passo:
Bom, se eu entendi corretamente o símbolo "c" sobrescrito significa que não é o conjunto todo da letra. Por exemplo:
A = A ͨ + (A∩B)
A ͨ é o conjunto sem os elementos comuns ao conjunto B. O mesmo vale para B ͨ .
Avaliação das proposições:
I. A U (A ͨ ∩ B) = B
A intersecção entre A ͨ e B é um conjunto vazio, pois os elementos de B contém a A∩B, que não faz parte de A ͨ , como já foi mostrado acima.
Assim:
A U {} = B está errado
seria: A U {} = A
II. (A ∩ B ͨ ) ∩ (A ͨ ∩ B) = {}
Sabemos que essas intersecções resultarão em conjuntos vazios.
{} ∩ {} = {} está correto
III. A ͨ U B ͨ = IR
No enunciado da questão é dito que A e B são conjuntos dos números reais. Porém, o conjunto de números reais é a união entre números racionais e irracionais. Logo, A e B, por terem números comum aos dois, não podem representar o conjunto dos números reais e dos irracionais.
A união entre A ͨ e B ͨ não conteria intersecção, mas mesmo assim não representaria conjuntos racionais e irracionais.
VI. A ∩ (B ͨ U A) = A U (B ͨ ∩ A)
Começando pelo primeiro termo:
(B ͨ U A) traz a união completa dos dois conjuntos
assim:
A ∩ (B ͨ U A), como o conjunto A está contido no conjunto (B ͨ U A), o resultado da intersecção é A.
segundo termo:
(B ͨ ∩ A) = {}
A U {} = A
por final: A=A
assim sendo, a proposição está correta.