(U.F. Juiz de Fora – MG) Ao aproximar-se de uma ilha, o capitão de um navio avistou uma montanha e decidiu medir a sua altura. Ele mediu um ângulo de 30° na direção do seu cume. Depois de navegar mais 2 km em direção à montanha, repetiu o procedimento, medindo um novo ângulo de 45°. Então, usando √3 = 1,73, qual o valor que mais se aproxima da altura dessa montanha, em quilômetros?
Soluções para a tarefa
tg 45°=1
tg 30°=√3/3
Considere os seguintes pontos:
A=ponto em que o ângulo é 30°
B=ponto em que o ângulo é 45°
C=base da montanha
D=cume (topo) da montanha
AB=2
BC=y
CD=x
AC=2+y
tg 45°=CD/BC=x/y
1=x/y
y=x (I)
tg 30°=CD/AC=x/(2+y)
√3/3=x/(2+y)
1,73/3=x/(2+y)
1,73.(2+y)=3x
3,46+1,73y=3x
1,73y=3x-3,46
y=(3x-3,46)/1,73 (II)
(II) = (I)
y=y
(3x-3,46)/1,73=x
3x-3,46=1,73x
3x-1,73x=3,46
1,27x=3,46
x=3,46/1,27
x=2,72441
x=~2,7 km
O valor que mais se aproxima da altura dessa montanha é 2,72 km.
Esta questão se trata de triângulos retângulos.
Triângulo retângulos são aqueles que possuem um ângulo reto (90°).
Utilizando as relações trigonométricas, podemos calcular as medidas da hipotenusa ou dos catetos, assim como os ângulos internos do triângulo:
sen θ = cateto oposto/hipotenusa
cos θ = cateto adjacente/hipotenusa
tan θ = cateto oposto/cateto adjacente
Na figura, podemos ver que a situação do enunciado forma dois triângulos retângulos. Como em um deles, o ângulo é de 45°, este é isósceles. Utilizando a função tangente, temos:
tan 30° = h/(h + 2)
√3/3 = h/(h + 2)
3h ≈ 1,73(h + 2)
3h ≈ 1,73h + 3,46
1,27h ≈ 3,46
h ≈ 2,72 km
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