Question

Trigonometria
Me ajudem por favor

Answer 1

Resposta:

55.

a)

Pela fórmula

$\sin ^{2} ( x ) + \cos ^{2} (x) = 1$

temos:

$( - \frac{3}{5} ) ^{2} + \cos^{2} (x) = 1$

$\cos ^{2} (x) = \frac{16}{25}$

Como x está no 3° quadrante, o cosseno será negativo:

$\cos(x) = - \frac{4}{5}$

b)

$\tan(x) = \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) }$

$\tan(x) = \frac{ - \frac{3}{5} }{ - \frac{4}{5} }$

$\tan(x) = \frac{3}{4}$

c)

$\sec(x) = \frac{1}{ \cos(x) }$

$\sec(x) = - \frac{5}{4}$

d)

$\cot(x) = \frac{1}{ \tan(x) }$

$\cot(x) = \frac{4}{3}$

56.

$\sin(x) ^{2} + ( - \frac{1}{4} ) ^{2} = 1$

$\sin(x) ^{2} = \frac{15}{16}$

Como o seno está no segundo quadrante, seu valor será positivo:

$\sin(x) = \frac{ \sqrt{15} }{4}$

Agora calcularemos a tangente:

$\tan(x) = \frac{ \frac{ \sqrt{15} }{4} }{ - \frac{1}{4} }$

$\tan(x) = - \sqrt{15}$

57.

Temos que $0<x<\frac{π}{2}$. Sabendo disso, o que nos resta é encontrar o valor do cosseno de x:

$( \frac{3}{5} ) ^{2} + \cos ^{2} (x) = 1$

$\cos^{2} (x) = \frac{16}{25}$

O cosseno será positivo, pois x está no primeiro quadrante:

$\cos(x) = \frac{4}{5}$

Agora basta fazer o que o enunciado pede. Temos que:

$\cot(x) = \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) } \: \: e \: \: \csc(x) = \frac{1}{ \sin(x) }$

Chamaremos a expressão de k:

$k = \frac{ \frac{4}{5} }{ \frac{3}{5} } \times \frac{1}{ \frac{4}{5} }$

$k = \frac{4}{3} \times \frac{5}{4}$

$k = \frac{5}{3}$

58.

$\sin ^{2} ( x) + \cos ^{2} (x) = 1$

$( \frac{ \sqrt{m + 1} }{m} ) ^{2} + ( \frac{1}{m} ) ^{2} = 1$

$\frac{m + 1}{ {m}^{2} } + \frac{1}{ {m}^{2} } = 1$

${m}^{2} - m - 2 = 0$

$(m + 1)(m - 2) = 0$

$m _{1} = - 1 \: \: e \: \: m _{2} = 2$

$S = ( - 1, \: 2)$

59.

Primeiramente devemos achar o valor do seno de x:

$\sin ^{2} (x) + ( - \frac{1}{2} ) ^{2} = 1$

$\sin(x) ^{2} = \frac{3}{4}$

Como x está no segundo quadrante, o seno será positivo:

$\sin(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Agora basta fazer o que o enunciado pede:

$y = \frac{ \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }{ - \frac{1}{2} } - \frac{ - \frac{1}{2} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }$

$y = \frac{ - \sqrt{3} + \frac{1}{ \sqrt{3} } }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }$

$y = \frac{ - \frac{2 \sqrt{3} }{3} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }$

$y = - \frac{2 \sqrt{3} }{3} \times \frac{2}{ \sqrt{3} }$

$y = - \frac{4}{3}$

60.

Questão incompleta.

61.

a)

$\frac{ \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } + \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) } }{ \frac{1}{ \sin(x) } }$

$\frac{ \frac{ \sin^{2} (x) + \cos ^{2} (x) }{ \cos(x) \sin(x) } }{ \frac{1}{ \sin(x) } }$

$\frac{ \frac{1}{ \cos(x) \sin(x) } }{ \frac{1}{ \sin(x) } }$

$\frac{1}{ \cos(x) }$

$\sec(x)$

b)

$\frac{2 - \sin ^{2} (x) }{ \cos^{2} (x) } - \frac{ \sin ^{2} (x) }{ \cos ^{2} (x) }$

$\frac{ \cos ^{2} (x)( 2 - \sin^{2} (x) ) - \sin ^{2} (x) \cos^{2} (x) }{ \cos ^{4} (x) }$

$\frac{2 \cos ^{2} (x) - \sin ^{2}(x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) \cos ^{2} (x) }{ \cos^{4} (x) }$

$\frac{2 \cos ^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos ^{2} (x) }{ \cos ^{4} (x) }$

$\frac{2 \cos ^{2} (x)(1 - \sin^{2} (x)) }{ \cos ^{4} (x) }$

Pela identidade

$1 - \sin ^{2} (x) = \cos ^{2} (x)$

temos:

$\frac{2 \cos ^{2} (x) \cos ^{2} (x) }{ \cos ^{4} (x) }$

$\frac{2 \cos ^{4} (x) }{\cos ^{4}}$

$2$

c)

$\frac{ \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } \times \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) } }{ \sec ^{2} (x) - 1 }$

$\frac{1}{ \sec^{2} (x) - 1 }$

pela indentidade

$\sec ^{2} (x) - 1 = \tan ^{2} (x)$

temos:

$\frac{1}{ \tan ^{2} (x) }$

$\frac{1}{ \tan^{2} (x) }$

$\cot^{2}(x)$

62.

Vamos desenvolver as expressões:

$m = (\sin( \alpha ) + \cos( \alpha ) ) ^{2}$

$m = \sin ^{2} ( \alpha ) + 2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) + \cos ^{2} ( \alpha )$

Pela fórmula

$2 \sin(x) \cos(x) = \sin(2x)$

temos:

$m = 1 + \sin(2 \alpha )$

Agora vamos desenvolver n:

$n = 4 \sin( \alpha ) \cos( \alpha )$

$n = 2.2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha )$

$n = 2 \sin(2 \alpha )$

Agora podemos proceder com o que o enunciado pede. Chamaremos a expressão pedida de "t":

$2m + n = t$

$t = 2(1 + \sin( 2\alpha ) ) - 2 \sin(2 \alpha )$

$t = 2 + 2 \sin(2 \alpha ) - 2 \sin( 2\alpha )$

$t = 2$