Question

(TRIGONOMETRIA)
DETERMINE a medida do terceiro lado de um triângulo, sabendo que, entre os lados 3 e 5, forma-se um ângulo obtuso cujo seno vale raiz de 3 sobre 2.
Gabarito: 7
PLEASE!

Answer 1

Observe a interpretação do exercício na figura anexa. 

1) Vamos descobrir o valor do ângulo. 

$sen(a) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Consultando uma tabelinha de ângulos notáveis, podemos ver que o ângulo cujo o seno é raiz de três sobre dois, é 60°. Mas o ângulo é obtuso. Então o ângulo é maior que 90°. Olhando a circunferência trigonométrica na figura, note que o ângulo obtuso cujo o seno vale raiz de 3 sobre 2 é 120°. 
Assim, a = 120°

2) Agora vamos usar a Lei dos Cossenos para determinar o lado do triângulo dado. 

A Lei dos Cossenos diz que, se em um triângulo são conhecidos dois lados e entre eles há um ângulo, é possível determinar a outra medida, que está oposta ao ângulo. Se o lado desconhecido é "a", os lados conhecidos são "b" e "c" e entre eles há um ângulo "k", teremos que:

a² = b²+c² - 2.b.c.cos(k)

No nosso caso, temos o ângulo de 120° e os lados 3 e 5. Queremos determinar o outro lado, que chamaremos de x:

x² = 3² + 5² - 2 . 3 . 5 . cos(120°)

Repare (ainda na figura) que o cos(120°) = - cos(60°) , assim: 

x² = 3² + 5² - 2 . 3 . 5 . [-cos(60°)]
x² = 3² + 5² + 2 . 3 . 5 . cos(60°)

Como cos(60°) = 1/2, então:

x² = 9 + 25 + 30. 1/2
x² = 9 + 25 +15
x² = 49
x = √49
x = +- 7

Como estamos trabalhando com medidas, desprezamos a raiz negativa. 

Assim, 

x = 7