Question

trigonometria? cos^4x-2cos^2x+1=0 qualquer que seja x real. isso é verdadeiro. alguém me explica??

Answer 1

Seja y = cos²x.
Dessa forma podemos dizer que: $cos^{4}x - 2cos^{2}x + 1=y^{2}-2y+1$

Só que: y² - 2y + 1 = (y - 1)².
Queremos portanto analisar: (y - 1)² = 0 que é equivalente a dizer que y = 1.

Dessa forma teríamos: cos²x = 1
cos x =1 ou cos x = -1

Portanto x = 2kπ (com k inteiro) ou x = (2k + 1)π (com k inteiro).

A expressão só seria verdadeira para todo x se na verdade estivesse escrito o seguinte:
$cos^{4}x - 2cos^{2}x + 1 \geq 0$
Isso seria verdade pois a expressão do lado esquerdo seria equivalente a:
$(cos^{2}x-1)^{2}$
E sabemos que todo número ao quadrado é maior ou igual a zero.