Question

(Trigonometria - 20 pontos)Considere que o ângulo agudo(está errado acho que seria oblíquo) determinado pelos ponteiros desse relógio seja o ângulo de um setor cujo o raio é o da superfície do mostrador do relógio. Se o raio da superfície do mostrador mede 10cm, qual é a área do referido setor quando o relógio está marcando 9h25min?

Answer 1

Vamos lá.

Veja que a resolução é mais ou menos simples, se a questão estiver pedindo o que estamos pensando, que é a área do setor "abarcado" pelo menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que estiver marcando 9h25min.

i) Veja que há uma fórmula bem prática (e segura) pra encontrarmos qual é o ângulo (que poderá ser o menor ou o maior) formado pelos ponteiros de um relógio. Tal fórmula é esta:

α = |11m - 60h| / 2 , em que "α" é o ângulo formado (que tanto poderá ser o maior como o menor), "m" é a quantidade de minutos e "h" é a quantidade de horas.
Aí você poderá perguntar: e como saberei se o ângulo encontrado é o maior ou o menor? Resposta: basta saber que se o ângulo encontrado é menor do que 180º, então o ângulo encontrado será o menor; se, ao contrário, o ângulo encontrado for maior que 180º, então esse ângulo será o maior. E encontrando o menor ângulo, para saber a medida do maior, basta que façamos a subtração do ângulo encontrado de 360º. E se encontrar o maior, para encontrar o menor é só fazer a mesma coisa, ok?

ii) Bem, então vamos primeiro encontrar que ângulo estará formando o relógio que estiver marcando 9h 25min. Aplicando a fórmula teremos:

α = |11*25 - 60*9| / 2
α = |275 - 540| / 2
α = |-265| / 2 ---- como |-265| = 265, ficaremos com
α = 265/2 ----- note que esta divisão dá exatamente "132,50º. Assim:
α = 132,50º <--- Este é o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que estiver marcando 9h 25min. Veja: como ele é menor do que 180º, então esse ângulo é o menor. Se quisesse saber qual seria o maior ângulo, então é só fazer: 360º-132,50º = 227,50º <-- Este seria o maior ângulo.

iii) Bem, mas vamos trabalhar com o menor ângulo encontrado que é de medida igual a "132,50º".

iv) Como o mostrador do relógio tem um raio igual a 10cm, vamos encontrar a área do setor "abarcado" por esse menor ângulo de 132,50º. Para isso, utilizaremos uma regra de três simples e direta, raciocinando-se assim: se tomarmos toda a circunferência do relógio, que tem 360º, iremos ter uma área igual a π*r² = π*10² = π*100 = 100π; então se tomarmos o setor "abarcado" pelo ângulo de 132,50%, iremos ter uma área igual a x*π*r² = x*π*10² = x*π*100 = 100*π*x, ou:

360º --------------- 100π
132,50º ------------100πx

Como a regra de três é simples e direta,então as razões comportar-se-ão naturalmente da seguinte forma:

360º/132,50º = 100π / 100πx ----- simplificando-se numerador e denominador do 2º membro por "100π", iremos ficar apenas com:

360º/132,50º = 1/x ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
360*x = 132,50*1 ----
360x = 132,50º ---- isolando "x", teremos:
x = 132,50º/360º ---- simplificando-se tudo por 10, ficaremos:
x = 13,25/36 u.a. <--- Esta seria a área do setor expressa em fração ordinária (obs: u.a. = unidades de área).

Se quisesse dar a área em forma de dízima periódica, então bastaria efetuar a divisão acima, e teríamos que:

x = 0,3680555... u.a. <--- A área do setor também poderia ser expressa desta forma.

Por isso é que havíamos pedido que você fornecesse as opções, pois muitas vezes o que acabamos de encontrar aí em cima poderia ser equivalente a uma outra expressão que, embora não tenhamos chegado a ela, mas poderíamos dizer que o que encontramos é equivalente à opção tal, entendeu?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.