Matemática, perguntado por juninho8, 1 ano atrás

trigesimo setimo termo da pa 4,11

Soluções para a tarefa

Respondido por robealme

A37 = ? a1 = 4 r = 7

An = a1 + (n - 1) . r

A37 = 4 + (37 - 1) . 7

A37 = 4 + 36 . 7

A37 = 4 + 252

A37 = 256

Trata-se de uma PA de 37 termos, onde o seu trigésimo sétimo termo é 256.

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (4, 11,...), tem-se que:

a)cada elemento nela presente é o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 7 unidades. Se um comportamento deste tipo acontece, tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).

b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão.

c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 4 (é o primeiro elemento da sequência e consiste no único número não formado pela soma de um anterior com a razão);

d)trigésimo sétimo termo (a₃₇): ?

e)número de termos (n): 37

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 37ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saiba o valor do trigésimo sétimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita dele, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 11 - 4 ⇒

r = 7 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o trigésimo sétimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₃₇ = 4 + (37 - 1) . (7) ⇒

a₃₇ = 4 + (36) . (7) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₃₇ = 4 + 252 ⇒

a₃₇ = 256

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O trigésimo sétimo termo da P.A. (4, 11,...) é 256.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₃₇ = 256 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o trigésimo sétimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

256 = a₁ + (37 - 1) . (7) ⇒

256 = a₁ + (36) . (7) ⇒

256 = a₁ + 252 ⇒

256 - 252 = a₁ ⇒

4 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 4 (Provado que a₃₇ = 256.)

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